Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqeqd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqeqd 14114
 Description: A deduction for showing two numbers whose squares are equal are themselves equal. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqeqd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
sqeqd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
sqeqd.3 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
sqeqd.4 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
sqeqd.5 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
sqeqd.6 ((𝜑 ∧ (ℜ‘𝐴) = 0 ∧ (ℜ‘𝐵) = 0) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sqeqd (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem sqeqd
StepHypRef Expression
1 sqeqd.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
2 sqeqd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 sqeqd.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 sqeqor 13185 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵)))
52, 3, 4syl2anc 573 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵)))
61, 5mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵))
76ord 851 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵))
8 simpl 468 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 𝜑)
9 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝐴 = -𝐵 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘-𝐵))
10 reneg 14073 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
113, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
129, 11sylan9eqr 2827 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐴) = -(ℜ‘𝐵))
13 sqeqd.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
1413adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
1514, 12breqtrd 4812 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ -(ℜ‘𝐵))
163adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
17 recl 14058 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1918le0neg1d 10801 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)))
2015, 19mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) ≤ 0)
21 sqeqd.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
2221adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
23 0re 10242 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
24 letri3 10325 . . . . . . . . . 10 (((ℜ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐵) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵))))
2518, 23, 24sylancl 574 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → ((ℜ‘𝐵) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵))))
2620, 22, 25mpbir2and 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) = 0)
2726negeqd 10477 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → -(ℜ‘𝐵) = -0)
28 neg0 10529 . . . . . . 7 -0 = 0
2927, 28syl6eq 2821 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → -(ℜ‘𝐵) = 0)
3012, 29eqtrd 2805 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐴) = 0)
31 sqeqd.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℜ‘𝐴) = 0 ∧ (ℜ‘𝐵) = 0) → 𝐴 = 𝐵)
328, 30, 26, 31syl3anc 1476 . . . 4 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
3332ex 397 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = -𝐵𝐴 = 𝐵))
347, 33syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
3534pm2.18d 125 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∨ wo 834   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  ℝcr 10137  0cc0 10138   ≤ cle 10277  -cneg 10469  2c2 11272  ↑cexp 13067  ℜcre 14045 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator