MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqeqd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqeqd 13900
Description: A deduction for showing two numbers whose squares are equal are themselves equal. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sqeqd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
sqeqd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
sqeqd.3 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
sqeqd.4 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
sqeqd.5 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
sqeqd.6 ((𝜑 ∧ (ℜ‘𝐴) = 0 ∧ (ℜ‘𝐵) = 0) → 𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sqeqd (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem sqeqd
StepHypRef Expression
1 sqeqd.3 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑2) = (𝐵↑2))
2 sqeqd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
3 sqeqd.2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 sqeqor 12973 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵)))
52, 3, 4syl2anc 693 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴↑2) = (𝐵↑2) ↔ (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵)))
61, 5mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵))
76ord 392 . . 3 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐴 = -𝐵))
8 simpl 473 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 𝜑)
9 fveq2 6189 . . . . . . 7 (𝐴 = -𝐵 → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘-𝐵))
10 reneg 13859 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
113, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℜ‘-𝐵) = -(ℜ‘𝐵))
129, 11sylan9eqr 2677 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐴) = -(ℜ‘𝐵))
13 sqeqd.4 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
1413adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ (ℜ‘𝐴))
1514, 12breqtrd 4677 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ -(ℜ‘𝐵))
163adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
17 recl 13844 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
1918le0neg1d 10596 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -(ℜ‘𝐵)))
2015, 19mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) ≤ 0)
21 sqeqd.5 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
2221adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 0 ≤ (ℜ‘𝐵))
23 0re 10037 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
24 letri3 10120 . . . . . . . . . 10 (((ℜ‘𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℜ‘𝐵) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵))))
2518, 23, 24sylancl 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → ((ℜ‘𝐵) = 0 ↔ ((ℜ‘𝐵) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (ℜ‘𝐵))))
2620, 22, 25mpbir2and 957 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐵) = 0)
2726negeqd 10272 . . . . . . 7 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → -(ℜ‘𝐵) = -0)
28 neg0 10324 . . . . . . 7 -0 = 0
2927, 28syl6eq 2671 . . . . . 6 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → -(ℜ‘𝐵) = 0)
3012, 29eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → (ℜ‘𝐴) = 0)
31 sqeqd.6 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (ℜ‘𝐴) = 0 ∧ (ℜ‘𝐵) = 0) → 𝐴 = 𝐵)
328, 30, 26, 31syl3anc 1325 . . . 4 ((𝜑𝐴 = -𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
3332ex 450 . . 3 (𝜑 → (𝐴 = -𝐵𝐴 = 𝐵))
347, 33syld 47 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵𝐴 = 𝐵))
3534pm2.18d 124 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989   class class class wbr 4651  cfv 5886  (class class class)co 6647  cc 9931  cr 9932  0cc0 9933  cle 10072  -cneg 10264  2c2 11067  cexp 12855  cre 13831
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-seq 12797  df-exp 12856  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator