MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqcld 13213
Description: Closure of square. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
expcld.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
sqcld (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)

Proof of Theorem sqcld
StepHypRef Expression
1 expcld.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 sqcl 13132 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2145  (class class class)co 6796  cc 10140  2c2 11276  cexp 13067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-seq 13009  df-exp 13068
This theorem is referenced by:  mulsubdivbinom2  13253  muldivbinom2  13254  recval  14270  arisum2  14800  fsumcube  14997  efi4p  15073  sincossq  15112  cos2t  15114  cos2tsin  15115  sqrt2irrlem  15183  sqrt2irrlemOLD  15184  pythagtriplem1  15728  pythagtriplem2  15729  pythagtriplem6  15733  pythagtriplem7  15734  pythagtriplem12  15738  pythagtriplem14  15740  4sqlem7  15855  4sqlem10  15858  4sqlem14  15869  4cphipval2  23260  csbren  23401  rrxmval  23407  rrxmetlem  23409  dvrecg  23956  dvmptdiv  23957  dveflem  23962  coskpi  24493  coseq1  24495  tanregt0  24506  efif1olem4  24512  tanarg  24586  lawcoslem1  24766  lawcos  24767  pythag  24768  ssscongptld  24773  chordthmlem3  24782  chordthmlem4  24783  chordthmlem5  24784  heron  24786  quad2  24787  quad  24788  dcubic1lem  24791  dcubic2  24792  dcubic1  24793  dcubic  24794  mcubic  24795  cubic2  24796  cubic  24797  binom4  24798  dquartlem1  24799  dquartlem2  24800  dquart  24801  quart1cl  24802  quart1lem  24803  quart1  24804  quartlem1  24805  quartlem2  24806  quartlem4  24808  quart  24809  asinlem3  24819  asinneg  24834  asinsin  24840  atandmcj  24857  efiatan2  24865  atandmtan  24868  cosatan  24869  cosatanne0  24870  dvatan  24883  cxp2limlem  24923  lgamgulmlem4  24979  basellem8  25035  lgsdir  25278  2sqlem4  25367  2sqlem11  25375  mulog2sumlem2  25445  mulog2sumlem3  25446  logsqvma  25452  selberglem1  25455  selberglem3  25457  selberg  25458  logdivbnd  25466  pntlemf  25515  pntlemk  25516  pntlemo  25517  ax5seglem1  26029  ax5seglem2  26030  ax5seglem6  26035  ax5seglem9  26038  axlowdimlem16  26058  axlowdimlem17  26059  4ipval2  27903  ipidsq  27905  cncph  28014  hhph  28375  eigvalcl  29160  bhmafibid2  29985  2sqn0  29986  2sqmod  29988  circlemethhgt  31061  hgt750leme  31076  sin2h  33732  cos2h  33733  tan2h  33734  dvtan  33792  dvasin  33828  dvacos  33829  areacirclem1  33832  areacirclem2  33833  areacirclem4  33835  areacirc  33837  ismrer1  33969  pellexlem1  37919  pellexlem2  37920  pellexlem6  37924  pell1qrge1  37960  pell1qrgaplem  37963  rmspecsqrtnq  37996  rmspecsqrtnqOLD  37997  rmxdbl  38030  jm2.18  38081  jm2.19lem1  38082  jm2.25  38092  jm2.27c  38100  dvdivf  40652  dvdivbd  40653  itgsinexplem1  40684  itgsinexp  40685  wallispi2lem1  40802  wallispi2lem2  40803  wallispi2  40804  stirlinglem1  40805  stirlinglem3  40807  stirlinglem8  40812  stirlinglem10  40814  stirlinglem15  40819  rrxtopnfi  41020  hoiqssbllem2  41354  onetansqsecsq  43030  cotsqcscsq  43031
  Copyright terms: Public domain W3C validator