MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sq01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sq01 13193
Description: If a complex number equals its square, it must be 0 or 1. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.)
Assertion
Ref Expression
sq01 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))

Proof of Theorem sq01
StepHypRef Expression
1 df-ne 2942 . . . . 5 (𝐴 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐴 = 0)
2 sqval 13129 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) = (𝐴 · 𝐴))
3 mulid1 10237 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
43eqcomd 2775 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = (𝐴 · 1))
52, 4eqeq12d 2784 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1)))
65adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1)))
7 ax-1cn 10194 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
8 mulcan 10864 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1) ↔ 𝐴 = 1))
97, 8mp3an2 1558 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1) ↔ 𝐴 = 1))
109anabss5 889 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴 · 𝐴) = (𝐴 · 1) ↔ 𝐴 = 1))
116, 10bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) = 𝐴𝐴 = 1))
1211biimpd 219 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝐴↑2) = 𝐴𝐴 = 1))
1312impancom 456 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 ≠ 0 → 𝐴 = 1))
141, 13syl5bir 233 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (¬ 𝐴 = 0 → 𝐴 = 1))
1514orrd 392 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) = 𝐴) → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1))
1615ex 448 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 → (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
17 sq0 13162 . . . 4 (0↑2) = 0
18 oveq1 6798 . . . 4 (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = (0↑2))
19 id 22 . . . 4 (𝐴 = 0 → 𝐴 = 0)
2017, 18, 193eqtr4a 2829 . . 3 (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = 𝐴)
21 sq1 13165 . . . 4 (1↑2) = 1
22 oveq1 6798 . . . 4 (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = (1↑2))
23 id 22 . . . 4 (𝐴 = 1 → 𝐴 = 1)
2421, 22, 233eqtr4a 2829 . . 3 (𝐴 = 1 → (𝐴↑2) = 𝐴)
2520, 24jaoi 393 . 2 ((𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1) → (𝐴↑2) = 𝐴)
2616, 25impbid1 215 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) = 𝐴 ↔ (𝐴 = 0 ∨ 𝐴 = 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1629  wcel 2143  wne 2941  (class class class)co 6791  cc 10134  0cc0 10136  1c1 10137   · cmul 10141  2c2 11270  cexp 13067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11888  df-seq 13009  df-exp 13068
This theorem is referenced by:  cphsubrglem  23202
  Copyright terms: Public domain W3C validator