Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  spthdep Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spthdep 26861
 Description: A simple path (at least of length 1) has different start and end points (in an undirected graph). (Contributed by AV, 31-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
spthdep ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))

Proof of Theorem spthdep
StepHypRef Expression
1 isspth 26851 . . 3 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃))
2 trliswlk 26825 . . . . . . . . 9 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
3 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
43wlkp 26743 . . . . . . . . 9 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
52, 4syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺))
65anim1i 593 . . . . . . 7 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun 𝑃))
7 df-f1 6054 . . . . . . 7 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ↔ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶(Vtx‘𝐺) ∧ Fun 𝑃))
86, 7sylibr 224 . . . . . 6 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺))
9 wlkcl 26742 . . . . . . . 8 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
10 nn0fz0 12651 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
1110biimpi 206 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
12 0elfz 12650 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))
1311, 12jca 555 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
142, 9, 133syl 18 . . . . . . 7 (𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
1514adantr 472 . . . . . 6 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹))))
168, 15jca 555 . . . . 5 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → (𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))))
17 eqcom 2767 . . . . . 6 ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) ↔ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0))
18 f1veqaeq 6678 . . . . . 6 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘(♯‘𝐹)) = (𝑃‘0) → (♯‘𝐹) = 0))
1917, 18syl5bi 232 . . . . 5 ((𝑃:(0...(♯‘𝐹))–1-1→(Vtx‘𝐺) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ∧ 0 ∈ (0...(♯‘𝐹)))) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) = 0))
2016, 19syl 17 . . . 4 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → (♯‘𝐹) = 0))
2120necon3d 2953 . . 3 ((𝐹(Trails‘𝐺)𝑃 ∧ Fun 𝑃) → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
221, 21sylbi 207 . 2 (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) ≠ 0 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹))))
2322imp 444 1 ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932   class class class wbr 4804  ◡ccnv 5265  Fun wfun 6043  ⟶wf 6045  –1-1→wf1 6046  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  ℕ0cn0 11504  ...cfz 12539  ♯chash 13331  Vtxcvtx 26094  Walkscwlks 26723  Trailsctrls 26818  SPathscspths 26840 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-wlks 26726  df-trls 26820  df-spths 26844 This theorem is referenced by:  cyclnspth  26927
 Copyright terms: Public domain W3C validator