Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sprsymrelen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sprsymrelen 42275
 Description: The class 𝑃 of subsets of the set of pairs over a fixed set 𝑉 and the class 𝑅 of symmetric relations on the fixed set 𝑉 are equinumerous. (Contributed by AV, 27-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sprsymrelf.p 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
sprsymrelf.r 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥)}
Assertion
Ref Expression
sprsymrelen (𝑉𝑊𝑃𝑅)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉,𝑦,𝑟   𝑥,𝑊,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem sprsymrelen
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sprsymrelf.p . . 3 𝑃 = 𝒫 (Pairs‘𝑉)
2 sprsymrelf.r . . 3 𝑅 = {𝑟 ∈ 𝒫 (𝑉 × 𝑉) ∣ ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥𝑟𝑦𝑦𝑟𝑥)}
31, 2sprbisymrel 42274 . 2 (𝑉𝑊 → ∃𝑓 𝑓:𝑃1-1-onto𝑅)
4 bren 8122 . 2 (𝑃𝑅 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝑃1-1-onto𝑅)
53, 4sylibr 224 1 (𝑉𝑊𝑃𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1631  ∃wex 1852   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  {crab 3065  𝒫 cpw 4298   class class class wbr 4787   × cxp 5248  –1-1-onto→wf1o 6029  ‘cfv 6030   ≈ cen 8110  Pairscspr 42252 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-en 8114  df-spr 42253 This theorem is referenced by:  uspgrymrelen  42286
 Copyright terms: Public domain W3C validator