Theorem splvalpfx 41960

Description: Value of the substring replacement operator. (Contributed by AV, 11-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
splvalpfx	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))

Proof of Theorem splvalpfx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		splval 13714	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
2		pfxval 41908	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (𝑆 prefix 𝐹) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))
3	2	3ad2antr1 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌)) → (𝑆 prefix 𝐹) = (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))
4	3	eqcomd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌)) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) = (𝑆 prefix 𝐹))
5	4	oveq1d 6806	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌)) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) = ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))
6	5	oveq1d 6806	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌)) → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7	1, 6	eqtrd 2803	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0 ∧ 𝑇 ∈ 𝑋 ∧ 𝑅 ∈ 𝑌)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1069   = wceq 1629   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4319  ⟨cotp 4321  ‘cfv 6030  (class class class)co 6791  0cc0 10136  ℕ₀cn0 11492  ♯chash 13324   ++ cconcat 13492   substr csubstr 13494   splice csplice 13495   prefix cpfx 41906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ral 3064  df-rex 3065  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-nul 4061  df-if 4223  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-ot 4322  df-uni 4572  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-id 5156  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fv 6038  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-splice 13503  df-pfx 41907

This theorem is referenced by: (None)