MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  splval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem splval2 13716
Description: Value of a splice, assuming the input word 𝑆 has already been decomposed into its pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
splval2.a (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑋)
splval2.b (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑋)
splval2.c (𝜑𝐶 ∈ Word 𝑋)
splval2.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝑋)
splval2.s (𝜑𝑆 = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶))
splval2.f (𝜑𝐹 = (♯‘𝐴))
splval2.t (𝜑𝑇 = (𝐹 + (♯‘𝐵)))
Assertion
Ref Expression
splval2 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = ((𝐴 ++ 𝑅) ++ 𝐶))

Proof of Theorem splval2
StepHypRef Expression
1 splval2.s . . . 4 (𝜑𝑆 = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶))
2 splval2.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑋)
3 splval2.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑋)
4 ccatcl 13555 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑋𝐵 ∈ Word 𝑋) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋)
52, 3, 4syl2anc 565 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋)
6 splval2.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Word 𝑋)
7 ccatcl 13555 . . . . 5 (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋𝐶 ∈ Word 𝑋) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶) ∈ Word 𝑋)
85, 6, 7syl2anc 565 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶) ∈ Word 𝑋)
91, 8eqeltrd 2849 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝑋)
10 splval2.f . . . 4 (𝜑𝐹 = (♯‘𝐴))
11 lencl 13519 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
122, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1310, 12eqeltrd 2849 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
14 splval2.t . . . 4 (𝜑𝑇 = (𝐹 + (♯‘𝐵)))
15 lencl 13519 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
163, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1713, 16nn0addcld 11556 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
1814, 17eqeltrd 2849 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℕ0)
19 splval2.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝑋)
20 splval 13710 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝑋 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝑇 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Word 𝑋)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
219, 13, 18, 19, 20syl13anc 1477 . 2 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
22 nn0uz 11923 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
2313, 22syl6eleq 2859 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ‘0))
24 eluzfz1 12554 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝐹))
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝐹))
2613nn0zd 11681 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
27 uzid 11902 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ (ℤ𝐹))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ𝐹))
29 uzaddcl 11945 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (ℤ𝐹) ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝐹 + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐹))
3028, 16, 29syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐹))
3114, 30eqeltrd 2849 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
32 elfzuzb 12542 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (0...𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ𝐹)))
3323, 31, 32sylanbrc 564 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3418, 22syl6eleq 2859 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ‘0))
35 ccatlen 13556 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋𝐶 ∈ Word 𝑋) → (♯‘((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶)) = ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) + (♯‘𝐶)))
365, 6, 35syl2anc 565 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶)) = ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) + (♯‘𝐶)))
371fveq2d 6336 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶)))
3810oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
39 ccatlen 13556 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ Word 𝑋𝐵 ∈ Word 𝑋) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
402, 3, 39syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
4138, 14, 403eqtr4d 2814 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 = (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
4241oveq1d 6807 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 + (♯‘𝐶)) = ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) + (♯‘𝐶)))
4336, 37, 423eqtr4d 2814 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑆) = (𝑇 + (♯‘𝐶)))
4418nn0zd 11681 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
45 uzid 11902 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℤ → 𝑇 ∈ (ℤ𝑇))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝑇))
47 lencl 13519 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
486, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
49 uzaddcl 11945 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ (ℤ𝑇) ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ0) → (𝑇 + (♯‘𝐶)) ∈ (ℤ𝑇))
5046, 48, 49syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 + (♯‘𝐶)) ∈ (ℤ𝑇))
5143, 50eqeltrd 2849 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
52 elfzuzb 12542 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝑇 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇)))
5334, 51, 52sylanbrc 564 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
54 ccatswrd 13664 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝑋 ∧ (0 ∈ (0...𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩))
559, 25, 33, 53, 54syl13anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩))
56 eluzfz1 12554 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑇))
5734, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑇))
58 lencl 13519 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
599, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
6059, 22syl6eleq 2859 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
61 eluzfz2 12555 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
63 ccatswrd 13664 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝑋 ∧ (0 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = (𝑆 substr ⟨0, (♯‘𝑆)⟩))
649, 57, 53, 62, 63syl13anc 1477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = (𝑆 substr ⟨0, (♯‘𝑆)⟩))
65 swrdid 13636 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 substr ⟨0, (♯‘𝑆)⟩) = 𝑆)
669, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, (♯‘𝑆)⟩) = 𝑆)
6764, 66, 13eqtrd 2808 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶))
68 swrdcl 13626 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋)
699, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋)
70 swrdcl 13626 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝑋)
719, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝑋)
72 swrd0len 13629 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝑋𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩)) = 𝑇)
739, 53, 72syl2anc 565 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩)) = 𝑇)
7473, 41eqtrd 2804 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩)) = (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
75 ccatopth 13678 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝑋) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋𝐶 ∈ Word 𝑋) ∧ (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩)) = (♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → (((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶) ↔ ((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) = 𝐶)))
7669, 71, 5, 6, 74, 75syl221anc 1486 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶) ↔ ((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) = 𝐶)))
7767, 76mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) = 𝐶))
7877simpld 476 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) = (𝐴 ++ 𝐵))
7955, 78eqtrd 2804 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝐴 ++ 𝐵))
80 swrdcl 13626 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝑋)
819, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝑋)
82 swrdcl 13626 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋)
839, 82syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋)
84 uztrn 11904 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
8551, 31, 84syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
86 elfzuzb 12542 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹)))
8723, 85, 86sylanbrc 564 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
88 swrd0len 13629 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝑋𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = 𝐹)
899, 87, 88syl2anc 565 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = 𝐹)
9089, 10eqtrd 2804 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (♯‘𝐴))
91 ccatopth 13678 . . . . . . 7 ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝑋 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ Word 𝑋𝐵 ∈ Word 𝑋) ∧ (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (♯‘𝐴)) → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝐴 ++ 𝐵) ↔ ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) = 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) = 𝐵)))
9281, 83, 2, 3, 90, 91syl221anc 1486 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝐴 ++ 𝐵) ↔ ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) = 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) = 𝐵)))
9379, 92mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) = 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) = 𝐵))
9493simpld 476 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) = 𝐴)
9594oveq1d 6807 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) = (𝐴 ++ 𝑅))
9677simprd 477 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) = 𝐶)
9795, 96oveq12d 6810 . 2 (𝜑 → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝐴 ++ 𝑅) ++ 𝐶))
9821, 97eqtrd 2804 1 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = ((𝐴 ++ 𝑅) ++ 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  cop 4320  cotp 4322  cfv 6031  (class class class)co 6792  0cc0 10137   + caddc 10140  0cn0 11493  cz 11578  cuz 11887  ...cfz 12532  chash 13320  Word cword 13486   ++ cconcat 13488   substr csubstr 13490   splice csplice 13491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-ot 4323  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-substr 13498  df-splice 13499
This theorem is referenced by:  efginvrel2  18346  efgredleme  18362  efgcpbllemb  18374  frgpnabllem1  18482
  Copyright terms: Public domain W3C validator