MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  splfv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem splfv1 13627
Description: Symbols to the left of a splice are unaffected. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
spllen.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv1.x (𝜑𝑋 ∈ (0..^𝐹))
Assertion
Ref Expression
splfv1 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = (𝑆𝑋))

Proof of Theorem splfv1
StepHypRef Expression
1 spllen.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
2 spllen.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3 spllen.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4 spllen.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
5 splval 13623 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1441 . . 3 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
76fveq1d 6306 . 2 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘𝑋))
8 swrdcl 13539 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
10 ccatcl 13467 . . . 4 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
119, 4, 10syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
12 swrdcl 13539 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
131, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
14 elfzelz 12456 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℤ)
15 uzid 11815 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ (ℤ𝐹))
162, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ𝐹))
17 wrdfin 13430 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Fin)
18 hashcl 13260 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Fin → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
194, 17, 183syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
20 uzaddcl 11858 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (ℤ𝐹) ∧ (♯‘𝑅) ∈ ℕ0) → (𝐹 + (♯‘𝑅)) ∈ (ℤ𝐹))
2116, 19, 20syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) ∈ (ℤ𝐹))
22 fzoss2 12611 . . . . . 6 ((𝐹 + (♯‘𝑅)) ∈ (ℤ𝐹) → (0..^𝐹) ⊆ (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^𝐹) ⊆ (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
24 splfv1.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (0..^𝐹))
2523, 24sseldd 3710 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
26 ccatlen 13468 . . . . . . 7 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (♯‘𝑅)))
279, 4, 26syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (♯‘𝑅)))
28 elfzuz 12452 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ (ℤ‘0))
29 eluzfz1 12462 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝐹))
302, 28, 293syl 18 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝐹))
31 fzass4 12493 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑇 ∈ (𝐹...(♯‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
3231bicomi 214 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑇 ∈ (𝐹...(♯‘𝑆))))
3332simplbi 478 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
342, 3, 33syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
35 swrdlen 13543 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
361, 30, 34, 35syl3anc 1439 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
372, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
3837zcnd 11596 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
3938subid1d 10494 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 − 0) = 𝐹)
4036, 39eqtrd 2758 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = 𝐹)
4140oveq1d 6780 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
4227, 41eqtrd 2758 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
4342oveq2d 6781 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))) = (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
4425, 43eleqtrrd 2806 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))))
45 ccatval1 13470 . . 3 ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)))) → ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘𝑋) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋))
4611, 13, 44, 45syl3anc 1439 . 2 (𝜑 → ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘𝑋) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋))
4740oveq2d 6781 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))) = (0..^𝐹))
4824, 47eleqtrrd 2806 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))))
49 ccatval1 13470 . . . 4 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))) → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋) = ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)‘𝑋))
509, 4, 48, 49syl3anc 1439 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋) = ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)‘𝑋))
5139oveq2d 6781 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(𝐹 − 0)) = (0..^𝐹))
5224, 51eleqtrrd 2806 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(𝐹 − 0)))
53 swrdfv 13544 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝐹 − 0))) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 0)))
541, 30, 34, 52, 53syl31anc 1442 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 0)))
55 elfzoelz 12585 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (0..^𝐹) → 𝑋 ∈ ℤ)
5655zcnd 11596 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (0..^𝐹) → 𝑋 ∈ ℂ)
5724, 56syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
5857addid1d 10349 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
5958fveq2d 6308 . . 3 (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 0)) = (𝑆𝑋))
6050, 54, 593eqtrd 2762 . 2 (𝜑 → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
617, 46, 603eqtrd 2762 1 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  wss 3680  cop 4291  cotp 4293  cfv 6001  (class class class)co 6765  Fincfn 8072  cc 10047  0cc0 10049   + caddc 10052  cmin 10379  0cn0 11405  cz 11490  cuz 11800  ...cfz 12440  ..^cfzo 12580  chash 13232  Word cword 13398   ++ cconcat 13400   substr csubstr 13402   splice csplice 13403
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-ot 4294  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-hash 13233  df-word 13406  df-concat 13408  df-substr 13410  df-splice 13411
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  18036
  Copyright terms: Public domain W3C validator