Theorem splfv1 13627

Description: Symbols to the left of a splice are unaffected. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
spllen.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝐹))

Assertion

Ref	Expression
splfv1	⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = (𝑆‘𝑋))

Proof of Theorem splfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spllen.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		spllen.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
3		spllen.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		spllen.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
5		splval 13623	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1441	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7	6	fveq1d 6306	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘𝑋))
8		swrdcl 13539	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
10		ccatcl 13467	. . . 4 ⊢ (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
11	9, 4, 10	syl2anc 696	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
12		swrdcl 13539	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
13	1, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
14		elfzelz 12456	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℤ)
15		uzid 11815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
16	2, 14, 15	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
17		wrdfin 13430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Word 𝐴 → 𝑅 ∈ Fin)
18		hashcl 13260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Fin → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
19	4, 17, 18	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
20		uzaddcl 11858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘𝐹) ∧ (♯‘𝑅) ∈ ℕ0) → (𝐹 + (♯‘𝑅)) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
21	16, 19, 20	syl2anc 696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
22		fzoss2 12611	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 + (♯‘𝑅)) ∈ (ℤ≥‘𝐹) → (0..^𝐹) ⊆ (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐹) ⊆ (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
24		splfv1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝐹))
25	23, 24	sseldd 3710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
26		ccatlen 13468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (♯‘𝑅)))
27	9, 4, 26	syl2anc 696	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (♯‘𝑅)))
28		elfzuz 12452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
29		eluzfz1 12462	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝐹))
30	2, 28, 29	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝐹))
31		fzass4 12493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑇 ∈ (𝐹...(♯‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
32	31	bicomi 214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑇 ∈ (𝐹...(♯‘𝑆))))
33	32	simplbi 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
34	2, 3, 33	syl2anc 696	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
35		swrdlen 13543	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
36	1, 30, 34, 35	syl3anc 1439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
37	2, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
38	37	zcnd 11596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
39	38	subid1d 10494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 0) = 𝐹)
40	36, 39	eqtrd 2758	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = 𝐹)
41	40	oveq1d 6780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
42	27, 41	eqtrd 2758	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
43	42	oveq2d 6781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))) = (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
44	25, 43	eleqtrrd 2806	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))))
45		ccatval1 13470	. . 3 ⊢ ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)))) → ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘𝑋) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋))
46	11, 13, 44, 45	syl3anc 1439	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘𝑋) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋))
47	40	oveq2d 6781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))) = (0..^𝐹))
48	24, 47	eleqtrrd 2806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))))
49		ccatval1 13470	. . . 4 ⊢ (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))) → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋) = ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)‘𝑋))
50	9, 4, 48, 49	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋) = ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)‘𝑋))
51	39	oveq2d 6781	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(𝐹 − 0)) = (0..^𝐹))
52	24, 51	eleqtrrd 2806	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(𝐹 − 0)))
53		swrdfv 13544	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑋 ∈ (0..^(𝐹 − 0))) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 0)))
54	1, 30, 34, 52, 53	syl31anc 1442	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)‘𝑋) = (𝑆‘(𝑋 + 0)))
55		elfzoelz 12585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝐹) → 𝑋 ∈ ℤ)
56	55	zcnd 11596	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^𝐹) → 𝑋 ∈ ℂ)
57	24, 56	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
58	57	addid1d 10349	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 0) = 𝑋)
59	58	fveq2d 6308	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 0)) = (𝑆‘𝑋))
60	50, 54, 59	3eqtrd 2762	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘𝑋) = (𝑆‘𝑋))
61	7, 46, 60	3eqtrd 2762	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = (𝑆‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ⊆ wss 3680  ⟨cop 4291  ⟨cotp 4293  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  Fincfn 8072  ℂcc 10047  0cc0 10049   + caddc 10052   − cmin 10379  ℕ₀cn0 11405  ℤcz 11490  ℤ_≥cuz 11800  ...cfz 12440  ..^cfzo 12580  ♯chash 13232  Word cword 13398   ++ cconcat 13400   substr csubstr 13402   splice csplice 13403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-ot 4294  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-hash 13233  df-word 13406  df-concat 13408  df-substr 13410  df-splice 13411

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  18036