Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spanval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spanval 28497
 Description: Value of the linear span of a subset of Hilbert space. The span is the intersection of all subspaces constraining the subset. Definition of span in [Schechter] p. 276. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spanval (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem spanval
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 28161 . . . 4 ℋ ∈ V
21elpw2 4973 . . 3 (𝐴 ∈ 𝒫 ℋ ↔ 𝐴 ⊆ ℋ)
32biimpri 218 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ∈ 𝒫 ℋ)
4 helsh 28407 . . . 4 ℋ ∈ S
5 sseq2 3764 . . . . 5 (𝑥 = ℋ → (𝐴𝑥𝐴 ⊆ ℋ))
65rspcev 3445 . . . 4 (( ℋ ∈ S𝐴 ⊆ ℋ) → ∃𝑥S 𝐴𝑥)
74, 6mpan 708 . . 3 (𝐴 ⊆ ℋ → ∃𝑥S 𝐴𝑥)
8 intexrab 4968 . . 3 (∃𝑥S 𝐴𝑥 {𝑥S𝐴𝑥} ∈ V)
97, 8sylib 208 . 2 (𝐴 ⊆ ℋ → {𝑥S𝐴𝑥} ∈ V)
10 sseq1 3763 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑥𝐴𝑥))
1110rabbidv 3325 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → {𝑥S𝑦𝑥} = {𝑥S𝐴𝑥})
1211inteqd 4628 . . 3 (𝑦 = 𝐴 {𝑥S𝑦𝑥} = {𝑥S𝐴𝑥})
13 df-span 28473 . . 3 span = (𝑦 ∈ 𝒫 ℋ ↦ {𝑥S𝑦𝑥})
1412, 13fvmptg 6438 . 2 ((𝐴 ∈ 𝒫 ℋ ∧ {𝑥S𝐴𝑥} ∈ V) → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
153, 9, 14syl2anc 696 1 (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = {𝑥S𝐴𝑥})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1628   ∈ wcel 2135  ∃wrex 3047  {crab 3050  Vcvv 3336   ⊆ wss 3711  𝒫 cpw 4298  ∩ cint 4623  ‘cfv 6045   ℋchil 28081   Sℋ csh 28090  spancspn 28094 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-hilex 28161  ax-hfvadd 28162  ax-hv0cl 28165  ax-hfvmul 28167 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-map 8021  df-nn 11209  df-hlim 28134  df-sh 28369  df-ch 28383  df-span 28473 This theorem is referenced by:  spancl  28500  spanss2  28509  spanid  28511  spanss  28512  shsval3i  28552  elspani  28707
 Copyright terms: Public domain W3C validator