Theorem spanss2 28544

Description: A subset of Hilbert space is included in its span. (Contributed by NM, 2-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
spanss2	⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘𝐴))

Proof of Theorem spanss2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssintub 4629	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥}
2		spanval 28532	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → (span‘𝐴) = ∩ {𝑥 ∈ Sℋ ∣ 𝐴 ⊆ 𝑥})
3	1, 2	syl5sseqr 3803	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ℋ → 𝐴 ⊆ (span‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4  {crab 3065   ⊆ wss 3723  ∩ cint 4611  ‘cfv 6031   ℋchil 28116   S_ℋ csh 28125  spancspn 28129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hv0cl 28200  ax-hfvmul 28202

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-map 8011  df-nn 11223  df-hlim 28169  df-sh 28404  df-ch 28418  df-span 28508

This theorem is referenced by:  shsupunss  28545  spanuni  28743