Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  spansncv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem spansncv 28852
 Description: Hilbert space has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (Contributed by NM, 9-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
spansncv ((𝐴C𝐵C𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 (span‘{𝐶}))))

Proof of Theorem spansncv
StepHypRef Expression
1 psseq1 3844 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → (𝐴𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊊ 𝐵))
2 oveq1 6800 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → (𝐴 (span‘{𝐶})) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶})))
32sseq2d 3782 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → (𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶})) ↔ 𝐵 ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶}))))
41, 3anbi12d 616 . . 3 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶}))) ↔ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊊ 𝐵𝐵 ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶})))))
52eqeq2d 2781 . . 3 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → (𝐵 = (𝐴 (span‘{𝐶})) ↔ 𝐵 = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶}))))
64, 5imbi12d 333 . 2 (𝐴 = if(𝐴C , 𝐴, ℋ) → (((𝐴𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 (span‘{𝐶}))) ↔ ((if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊊ 𝐵𝐵 ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶})))))
7 psseq2 3845 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊊ 𝐵 ↔ if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊊ if(𝐵C , 𝐵, ℋ)))
8 sseq1 3775 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → (𝐵 ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶})) ↔ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶}))))
97, 8anbi12d 616 . . 3 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → ((if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊊ 𝐵𝐵 ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶}))) ↔ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊊ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ∧ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶})))))
10 eqeq1 2775 . . 3 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → (𝐵 = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶})) ↔ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶}))))
119, 10imbi12d 333 . 2 (𝐵 = if(𝐵C , 𝐵, ℋ) → (((if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊊ 𝐵𝐵 ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶}))) ↔ ((if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊊ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ∧ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶}))) → if(𝐵C , 𝐵, ℋ) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶})))))
12 sneq 4326 . . . . . . 7 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → {𝐶} = {if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)})
1312fveq2d 6336 . . . . . 6 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (span‘{𝐶}) = (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)}))
1413oveq2d 6809 . . . . 5 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶})) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)})))
1514sseq2d 3782 . . . 4 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶})) ↔ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)}))))
1615anbi2d 614 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → ((if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊊ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ∧ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶}))) ↔ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊊ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ∧ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)})))))
1714eqeq2d 2781 . . 3 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (if(𝐵C , 𝐵, ℋ) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶})) ↔ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)}))))
1816, 17imbi12d 333 . 2 (𝐶 = if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) → (((if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊊ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ∧ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶}))) → if(𝐵C , 𝐵, ℋ) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{𝐶}))) ↔ ((if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊊ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ∧ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)}))) → if(𝐵C , 𝐵, ℋ) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)})))))
19 ifchhv 28441 . . 3 if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∈ C
20 ifchhv 28441 . . 3 if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ∈ C
21 ifhvhv0 28219 . . 3 if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0) ∈ ℋ
2219, 20, 21spansncvi 28851 . 2 ((if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ⊊ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ∧ if(𝐵C , 𝐵, ℋ) ⊆ (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)}))) → if(𝐵C , 𝐵, ℋ) = (if(𝐴C , 𝐴, ℋ) ∨ (span‘{if(𝐶 ∈ ℋ, 𝐶, 0)})))
236, 11, 18, 22dedth3h 4280 1 ((𝐴C𝐵C𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴𝐵𝐵 ⊆ (𝐴 (span‘{𝐶}))) → 𝐵 = (𝐴 (span‘{𝐶}))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723   ⊊ wpss 3724  ifcif 4225  {csn 4316  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ℋchil 28116  0ℎc0v 28121   Cℋ cch 28126  spancspn 28129   ∨ℋ chj 28130 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cc 9459  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218  ax-hilex 28196  ax-hfvadd 28197  ax-hvcom 28198  ax-hvass 28199  ax-hv0cl 28200  ax-hvaddid 28201  ax-hfvmul 28202  ax-hvmulid 28203  ax-hvmulass 28204  ax-hvdistr1 28205  ax-hvdistr2 28206  ax-hvmul0 28207  ax-hfi 28276  ax-his1 28279  ax-his2 28280  ax-his3 28281  ax-his4 28282  ax-hcompl 28399 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-lm 21254  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cfil 23272  df-cau 23273  df-cmet 23274  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-dip 27896  df-ssp 27917  df-ph 28008  df-cbn 28059  df-hnorm 28165  df-hba 28166  df-hvsub 28168  df-hlim 28169  df-hcau 28170  df-sh 28404  df-ch 28418  df-oc 28449  df-ch0 28450  df-shs 28507  df-span 28508  df-chj 28509  df-pjh 28594 This theorem is referenced by:  spansncv2  29492
 Copyright terms: Public domain W3C validator