Theorem snwf 8840

Description: A singleton is well-founded if its element is. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
snwf	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → {𝐴} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Proof of Theorem snwf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwwf 8838	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
2		snsspw 4508	. . 3 ⊢ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴
3		sswf 8839	. . 3 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) ∧ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴) → {𝐴} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
4	2, 3	mpan2 671	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → {𝐴} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))
5	1, 4	sylbi 207	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ On) → {𝐴} ∈ ∪ (𝑅1 “ On))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723  𝒫 cpw 4298  {csn 4317  ∪ cuni 4575   “ cima 5253  Oncon0 5865  𝑅₁cr1 8793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-r1 8795  df-rank 8796

This theorem is referenced by:  prwf  8842  opwf  8843  ranksnb  8858  rankprb  8882  rankopb  8883  rankcf  9805  rankaltopb  32423