MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snstriedgval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snstriedgval 25864
Description: The set of indexed edges of a graph without edges represented as an extensible structure with vertices as base set and no indexed edges. See iedgvalsnop 25868 for the (degenerated) case where 𝑉 = (Base‘ndx). (Contributed by AV, 24-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
snstrvtxval.v 𝑉 ∈ V
snstrvtxval.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
Assertion
Ref Expression
snstriedgval (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem snstriedgval
StepHypRef Expression
1 iedgval 25813 . . 3 (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd𝐺), (.ef‘𝐺))
21a1i 11 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd𝐺), (.ef‘𝐺)))
3 necom 2843 . . . 4 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) ↔ (Base‘ndx) ≠ 𝑉)
4 fvex 6168 . . . . 5 (Base‘ndx) ∈ V
5 snstrvtxval.v . . . . 5 𝑉 ∈ V
6 snstrvtxval.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
74, 5, 6funsndifnop 6381 . . . 4 ((Base‘ndx) ≠ 𝑉 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
83, 7sylbi 207 . . 3 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
98iffalsed 4075 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd𝐺), (.ef‘𝐺)) = (.ef‘𝐺))
10 snex 4879 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} ∈ V
1110a1i 11 . . . . 5 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} ∈ V)
126, 11syl5eqel 2702 . . . 4 (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} → 𝐺 ∈ V)
13 edgfndxid 25805 . . . 4 (𝐺 ∈ V → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
146, 12, 13mp2b 10 . . 3 (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))
15 slotsbaseefdif 25807 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
1615nesymi 2847 . . . . . . 7 ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx)
1716a1i 11 . . . . . 6 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
18 fvex 6168 . . . . . . 7 (.ef‘ndx) ∈ V
1918elsn 4170 . . . . . 6 ((.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx)} ↔ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
2017, 19sylnibr 319 . . . . 5 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx)})
216dmeqi 5295 . . . . . 6 dom 𝐺 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
22 dmsnopg 5575 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ V → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} = {(Base‘ndx)})
235, 22mp1i 13 . . . . . 6 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} = {(Base‘ndx)})
2421, 23syl5eq 2667 . . . . 5 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → dom 𝐺 = {(Base‘ndx)})
2520, 24neleqtrrd 2720 . . . 4 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺)
26 ndmfv 6185 . . . 4 (¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
2725, 26syl 17 . . 3 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
2814, 27syl5eq 2667 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (.ef‘𝐺) = ∅)
292, 9, 283eqtrd 2659 1 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  Vcvv 3190  c0 3897  ifcif 4064  {csn 4155  cop 4161   × cxp 5082  dom cdm 5084  cfv 5857  2nd c2nd 7127  ndxcnx 15797  Basecbs 15800  .efcedgf 25801  iEdgciedg 25809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-edgf 25802  df-iedg 25811
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator