Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snmlff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snmlff 31539
Description: The function 𝐹 from snmlval 31541 is a mapping from positive integers to real numbers in the range [0, 1]. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
snmlff.f 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
Assertion
Ref Expression
snmlff 𝐹:ℕ⟶(0[,]1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑛   𝑅,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑅(𝑘)   𝐹(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem snmlff
StepHypRef Expression
1 snmlff.f . 2 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
2 fzfid 12887 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (1...𝑛) ∈ Fin)
3 ssrab2 3793 . . . . . . 7 {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛)
4 ssfi 8296 . . . . . . 7 (((1...𝑛) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛)) → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin)
52, 3, 4sylancl 697 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin)
6 hashcl 13260 . . . . . 6 ({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℕ0)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℕ0)
87nn0red 11465 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ)
9 nndivre 11169 . . . 4 (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ)
108, 9mpancom 706 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ)
117nn0ge0d 11467 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}))
12 nnre 11140 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
13 nngt0 11162 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → 0 < 𝑛)
14 divge0 11005 . . . 4 ((((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵})) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → 0 ≤ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
158, 11, 12, 13, 14syl22anc 1440 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → 0 ≤ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛))
16 ssdomg 8118 . . . . . . . 8 ((1...𝑛) ∈ Fin → ({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ⊆ (1...𝑛) → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
172, 3, 16mpisyl 21 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛))
18 hashdom 13281 . . . . . . . 8 (({𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ∈ Fin ∧ (1...𝑛) ∈ Fin) → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (♯‘(1...𝑛)) ↔ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
195, 2, 18syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (♯‘(1...𝑛)) ↔ {𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵} ≼ (1...𝑛)))
2017, 19mpbird 247 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (♯‘(1...𝑛)))
21 nnnn0 11412 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
22 hashfz1 13249 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑛)) = 𝑛)
2420, 23breqtrd 4786 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ 𝑛)
25 nncn 11141 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
2625mulid1d 10170 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 · 1) = 𝑛)
2724, 26breqtrrd 4788 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1))
28 1red 10168 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
29 ledivmul 11012 . . . . 5 (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑛)) → (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1)))
308, 28, 12, 13, 29syl112anc 1443 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ → (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1 ↔ (♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) ≤ (𝑛 · 1)))
3127, 30mpbird 247 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1)
32 0re 10153 . . . 4 0 ∈ ℝ
33 1re 10152 . . . 4 1 ∈ ℝ
3432, 33elicc2i 12353 . . 3 (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ (0[,]1) ↔ (((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∧ ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ≤ 1))
3510, 15, 31, 34syl3anbrc 1383 . 2 (𝑛 ∈ ℕ → ((♯‘{𝑘 ∈ (1...𝑛) ∣ (⌊‘((𝐴 · (𝑅𝑘)) mod 𝑅)) = 𝐵}) / 𝑛) ∈ (0[,]1))
361, 35fmpti 6498 1 𝐹:ℕ⟶(0[,]1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1596  wcel 2103  {crab 3018  wss 3680   class class class wbr 4760  cmpt 4837  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  cdom 8070  Fincfn 8072  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   · cmul 10054   < clt 10187  cle 10188   / cdiv 10797  cn 11133  0cn0 11405  [,]cicc 12292  ...cfz 12440  cfl 12706   mod cmo 12783  cexp 12975  chash 13232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-uz 11801  df-icc 12296  df-fz 12441  df-hash 13233
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator