MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sniffsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sniffsupp 8356
Description: A function mapping all but one arguments to zero is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sniffsupp.i (𝜑𝐼𝑉)
sniffsupp.0 (𝜑0𝑊)
sniffsupp.f 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
Assertion
Ref Expression
sniffsupp (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼   𝑥,𝑋   𝑥, 0   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem sniffsupp
StepHypRef Expression
1 sniffsupp.f . 2 𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
2 snfi 8079 . . . 4 {𝑋} ∈ Fin
3 eldifsni 4353 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋}) → 𝑥𝑋)
43adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → 𝑥𝑋)
54neneqd 2828 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → ¬ 𝑥 = 𝑋)
65iffalsed 4130 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ {𝑋})) → if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ) = 0 )
7 sniffsupp.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
86, 7suppss2 7374 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋})
9 ssfi 8221 . . . 4 (({𝑋} ∈ Fin ∧ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑋}) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
102, 8, 9sylancr 696 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin)
11 funmpt 5964 . . . . 5 Fun (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
1211a1i 11 . . . 4 (𝜑 → Fun (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )))
13 mptexg 6525 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V)
147, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V)
15 sniffsupp.0 . . . 4 (𝜑0𝑊)
16 funisfsupp 8321 . . . 4 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∧ (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) ∈ V ∧ 0𝑊) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
1712, 14, 15, 16syl3anc 1366 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) supp 0 ) ∈ Fin))
1810, 17mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥 = 𝑋, 𝐴, 0 )) finSupp 0 )
191, 18syl5eqbr 4720 1 (𝜑𝐹 finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762  Fun wfun 5920  (class class class)co 6690   supp csupp 7340  Fincfn 7997   finSupp cfsupp 8316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-supp 7341  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-fin 8001  df-fsupp 8317
This theorem is referenced by:  dprdfid  18462  snifpsrbag  19414
  Copyright terms: Public domain W3C validator