MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snfbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snfbas 21890
Description: Condition for a singleton to be a filter base. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
snfbas ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))

Proof of Theorem snfbas
StepHypRef Expression
1 ssexg 4939 . . . . 5 ((𝐴𝐵𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
213adant2 1125 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
3 simp2 1131 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴 ≠ ∅)
4 snfil 21888 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ ∅) → {𝐴} ∈ (Fil‘𝐴))
52, 3, 4syl2anc 573 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → {𝐴} ∈ (Fil‘𝐴))
6 filfbas 21872 . . 3 ({𝐴} ∈ (Fil‘𝐴) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐴))
75, 6syl 17 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐴))
8 simp1 1130 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴𝐵)
9 elpw2g 4959 . . . . 5 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))
1093ad2ant3 1129 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → (𝐴 ∈ 𝒫 𝐵𝐴𝐵))
118, 10mpbird 247 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐵)
1211snssd 4476 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐵)
13 simp3 1132 . 2 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → 𝐵𝑉)
14 fbasweak 21889 . 2 (({𝐴} ∈ (fBas‘𝐴) ∧ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐵𝐵𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))
157, 12, 13, 14syl3anc 1476 1 ((𝐴𝐵𝐴 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝑉) → {𝐴} ∈ (fBas‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1071  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4298  {csn 4317  cfv 6030  fBascfbas 19949  Filcfil 21869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fv 6038  df-fbas 19958  df-fil 21870
This theorem is referenced by:  isufil2  21932  ufileu  21943  filufint  21944  uffix  21945  flimclslem  22008
  Copyright terms: Public domain W3C validator