Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snct Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snct 29375
Description: A singleton is countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
snct (𝐴𝑉 → {𝐴} ≼ ω)

Proof of Theorem snct
StepHypRef Expression
1 ensn1g 7981 . 2 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≈ 1𝑜)
2 peano1 7047 . . . . 5 ∅ ∈ ω
32ne0ii 3905 . . . 4 ω ≠ ∅
4 omex 8500 . . . . 5 ω ∈ V
540sdom 8051 . . . 4 (∅ ≺ ω ↔ ω ≠ ∅)
63, 5mpbir 221 . . 3 ∅ ≺ ω
7 0sdom1dom 8118 . . 3 (∅ ≺ ω ↔ 1𝑜 ≼ ω)
86, 7mpbi 220 . 2 1𝑜 ≼ ω
9 endomtr 7974 . 2 (({𝐴} ≈ 1𝑜 ∧ 1𝑜 ≼ ω) → {𝐴} ≼ ω)
101, 8, 9sylancl 693 1 (𝐴𝑉 → {𝐴} ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  wne 2790  c0 3897  {csn 4155   class class class wbr 4623  ωcom 7027  1𝑜c1o 7513  cen 7912  cdom 7913  csdm 7914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-om 7028  df-1o 7520  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918
This theorem is referenced by:  prct  29376  oms0  30182
  Copyright terms: Public domain W3C validator