MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smuval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smuval2 15406
Description: The partial sum sequence stabilizes at 𝑁 after the 𝑁 + 1-th element of the sequence; this stable value is the value of the sequence multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
smuval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
smuval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
smuval.p 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
smuval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
smuval2.m (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
Assertion
Ref Expression
smuval2 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀)))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑝,𝐴   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛   𝐵,𝑚,𝑛,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝑃(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑀(𝑚,𝑛,𝑝)   𝑁(𝑚,𝑝)

Proof of Theorem smuval2
Dummy variables 𝑘 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smuval2.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
2 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑁 + 1) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑁 + 1)))
32eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑥 = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (𝑃𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
43bibi2d 331 . . . 4 (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
54imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = (𝑁 + 1) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))))
6 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑘))
76eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑥 = 𝑘 → (𝑁 ∈ (𝑃𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)))
87bibi2d 331 . . . 4 (𝑥 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘))))
98imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑘 → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)))))
10 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑃𝑥) = (𝑃‘(𝑘 + 1)))
1110eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑥 = (𝑘 + 1) → (𝑁 ∈ (𝑃𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))
1211bibi2d 331 . . . 4 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
1312imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = (𝑘 + 1) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
14 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑀 → (𝑃𝑥) = (𝑃𝑀))
1514eleq2d 2825 . . . . 5 (𝑥 = 𝑀 → (𝑁 ∈ (𝑃𝑥) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀)))
1615bibi2d 331 . . . 4 (𝑥 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀))))
1716imbi2d 329 . . 3 (𝑥 = 𝑀 → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀)))))
18 smuval.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
19 smuval.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
20 smuval.p . . . . 5 𝑃 = seq0((𝑝 ∈ 𝒫 ℕ0, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑝 sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑚𝐴 ∧ (𝑛𝑚) ∈ 𝐵)})), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
21 smuval.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2218, 19, 20, 21smuval 15405 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1))))
2322a1i 11 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑁 + 1)))))
2418adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2519adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
26 peano2nn0 11525 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2721, 26syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
28 eluznn0 11950 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2927, 28sylan 489 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3024, 25, 20, 29smupp1 15404 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑃‘(𝑘 + 1)) = ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}))
3130eleq2d 2825 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)})))
3224, 25, 20smupf 15402 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑃:ℕ0⟶𝒫 ℕ0)
3332, 29ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑃𝑘) ∈ 𝒫 ℕ0)
3433elpwid 4314 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑃𝑘) ⊆ ℕ0)
35 ssrab2 3828 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ⊆ ℕ0
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ⊆ ℕ0)
3727adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
3834, 36, 37sadeq 15396 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
39 inrab2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = {𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}
40 inss1 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0
41 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
4240, 41sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4342nn0red 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ ℝ)
4421adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4645nn0red 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
47 1red 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 1 ∈ ℝ)
4846, 47readdcld 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
4929adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5049nn0red 11544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑘 ∈ ℝ)
51 inss2 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (0..^(𝑁 + 1))
5251, 41sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
53 elfzolt2 12673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → 𝑛 < (𝑁 + 1))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 < (𝑁 + 1))
55 eluzle 11892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
5655ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑁 + 1) ≤ 𝑘)
5743, 48, 50, 54, 56ltletrd 10389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝑛 < 𝑘)
5843, 50ltnled 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (𝑛 < 𝑘 ↔ ¬ 𝑘𝑛))
5957, 58mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ¬ 𝑘𝑛)
6025adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
6160sseld 3743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛𝑘) ∈ 𝐵 → (𝑛𝑘) ∈ ℕ0))
62 nn0ge0 11510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛𝑘) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑛𝑘))
6361, 62syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛𝑘) ∈ 𝐵 → 0 ≤ (𝑛𝑘)))
6443, 50subge0d 10809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → (0 ≤ (𝑛𝑘) ↔ 𝑘𝑛))
6563, 64sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑛𝑘) ∈ 𝐵𝑘𝑛))
6665adantld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ((𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵) → 𝑘𝑛))
6759, 66mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) → ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
6867ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
69 rabeq0 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅ ↔ ∀𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ¬ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵))
7068, 69sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → {𝑛 ∈ (ℕ0 ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} = ∅)
7139, 70syl5eq 2806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ∅)
7271oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅))
73 inss1 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ (𝑃𝑘)
7473, 34syl5ss 3755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0)
75 sadid1 15392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ⊆ ℕ0 → (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ∅) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
7772, 76eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
7877ineq1d 3956 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
79 inass 3966 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃𝑘) ∩ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
80 inidm 3965 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = (0..^(𝑁 + 1))
8180ineq2i 3954 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑃𝑘) ∩ ((0..^(𝑁 + 1)) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))
8279, 81eqtri 2782 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))
8378, 82syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) sadd ({𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)} ∩ (0..^(𝑁 + 1)))) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
8438, 83eqtrd 2794 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))))
8584eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ 𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1)))))
86 elin 3939 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
87 elin 3939 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) ∩ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
8885, 86, 873bitr3g 302 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
89 nn0uz 11915 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
9044, 89syl6eleq 2849 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
91 eluzfz2 12542 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0...𝑁))
9344nn0zd 11672 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
94 fzval3 12731 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
9692, 95eleqtrd 2841 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
9796biantrud 529 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ↔ (𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
9896biantrud 529 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃𝑘) ↔ (𝑁 ∈ (𝑃𝑘) ∧ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))))
9988, 97, 983bitr4d 300 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ ((𝑃𝑘) sadd {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑘𝐴 ∧ (𝑛𝑘) ∈ 𝐵)}) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)))
10031, 99bitrd 268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)))
101100bibi2d 331 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘))))
102101biimprd 238 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)) → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1)))))
103102expcom 450 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → ((𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘)) → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
104103a2d 29 . . 3 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → ((𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑘))) → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃‘(𝑘 + 1))))))
1055, 9, 13, 17, 23, 104uzind4 11939 . 2 (𝑀 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀))))
1061, 105mpcom 38 1 (𝜑 → (𝑁 ∈ (𝐴 smul 𝐵) ↔ 𝑁 ∈ (𝑃𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  {crab 3054  cin 3714  wss 3715  c0 4058  ifcif 4230  𝒫 cpw 4302   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  seqcseq 12995   sadd csad 15344   smul csmu 15345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-xor 1614  df-tru 1635  df-fal 1638  df-had 1682  df-cad 1695  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-dvds 15183  df-bits 15346  df-sad 15375  df-smu 15400
This theorem is referenced by:  smupvallem  15407  smueqlem  15414
  Copyright terms: Public domain W3C validator