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Theorem smonoord 41666
Description: Ordering relation for a strictly monotonic sequence, increasing case. Analogous to monoord 12871 (except that the case 𝑀 = 𝑁 must be excluded). Duplicate of monoords 39825? (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
smonoord.0 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smonoord.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
smonoord.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
smonoord.3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
Assertion
Ref Expression
smonoord (𝜑 → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem smonoord
Dummy variables 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smonoord.1 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
2 eluzfz2 12387 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
31, 2syl 17 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
4 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
5 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑀 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑀 + 1)))
65breq2d 4697 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑀 + 1) → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1))))
74, 6imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = (𝑀 + 1) → ((𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥)) ↔ ((𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1)))))
87imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = (𝑀 + 1) → ((𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1))))))
9 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ 𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
10 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑛 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑛))
1110breq2d 4697 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛)))
129, 11imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → ((𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥)) ↔ (𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛))))
1312imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 𝑛 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛)))))
14 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
15 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
1615breq2d 4697 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
1714, 16imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥)) ↔ ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
1817imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))))
19 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
20 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑁))
2120breq2d 4697 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁)))
2219, 21imbi12d 333 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥)) ↔ (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁))))
2322imbi2d 329 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → ((𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁)))))
24 smonoord.0 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
25 eluzp1m1 11749 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
2624, 1, 25syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
27 eluzfz1 12386 . . . . . . . 8 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
29 smonoord.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
3029ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
31 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑀))
32 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘 + 1) = (𝑀 + 1))
3332fveq2d 6233 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑀 + 1)))
3431, 33breq12d 4698 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1))))
3534rspcv 3336 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1))))
3628, 30, 35sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1)))
3736a1d 25 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1))))
3837a1i 11 . . . 4 ((𝑀 + 1) ∈ ℤ → (𝜑 → ((𝑀 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑀 + 1)))))
39 peano2fzr 12392 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
4039adantll 750 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))
4140ex 449 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
4241imim1d 82 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛)) → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛))))
43 peano2uzr 11781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
4443ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀)))
4544, 24syl11 33 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)))
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝜑𝑛 ∈ (ℤ𝑀)))
4746impcom 445 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
48 eluzelz 11735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℤ)
5049adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → 𝑛 ∈ ℤ)
51 elfzuz3 12377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))
5251ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1)))
53 eluzp1m1 11749 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛))
5450, 52, 53syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛))
55 elfzuzb 12374 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑛)))
5647, 54, 55sylanbrc 699 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
5730adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)))
58 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
59 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (𝑘 + 1) = (𝑛 + 1))
6059fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
6158, 60breq12d 4698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)) ↔ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6261rspcv 3336 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐹𝑘) < (𝐹‘(𝑘 + 1)) → (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
6356, 57, 62sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1)))
64 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
6564lep1d 10993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ (𝑀 + 1))
6624, 65jccir 561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑀 + 1)))
67 eluzuzle 11734 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑀 + 1)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
6866, 1, 67sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
69 eluzfz1 12386 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
71 smonoord.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7271ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7331eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑀) ∈ ℝ))
7473rspcv 3336 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹𝑀) ∈ ℝ))
7570, 72, 74sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
7675adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝐹𝑀) ∈ ℝ)
77 fzp1ss 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
7824, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
7978sseld 3635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
8079com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝜑 → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝜑 → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)))
8281impcom 445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
83 peano2fzr 12392 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
8447, 82, 83syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → 𝑛 ∈ (𝑀...𝑁))
8572adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ)
8658eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑛) ∈ ℝ))
8786rspcv 3336 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹𝑛) ∈ ℝ))
8884, 85, 87sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
89 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = (𝑛 + 1) → (𝐹𝑘) = (𝐹‘(𝑛 + 1)))
9089eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝑛 + 1) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ))
9190rspcv 3336 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)(𝐹𝑘) ∈ ℝ → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ))
9282, 85, 91sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
93 lttr 10152 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑀) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑛) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘(𝑛 + 1)) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑀) < (𝐹𝑛) ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
9476, 88, 92, 93syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → (((𝐹𝑀) < (𝐹𝑛) ∧ (𝐹𝑛) < (𝐹‘(𝑛 + 1))) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
9563, 94mpan2d 710 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ∧ (𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁))) → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑛) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))
9695expr 642 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → ((𝐹𝑀) < (𝐹𝑛) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
9796a2d 29 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛)) → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
9842, 97syld 47 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → ((𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛)) → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1)))))
9998expcom 450 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝜑 → ((𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛)) → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))))
10099a2d 29 . . . 4 (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → ((𝜑 → (𝑛 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑛))) → (𝜑 → ((𝑛 + 1) ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹‘(𝑛 + 1))))))
1018, 13, 18, 23, 38, 100uzind4 11784 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁))))
1021, 101mpcom 38 . 2 (𝜑 → (𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁) → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁)))
1033, 102mpd 15 1 (𝜑 → (𝐹𝑀) < (𝐹𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365
This theorem is referenced by:  iccpartiltu  41683  iccpartigtl  41684  iccpartgt  41688
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