MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smo0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smo0 7626
Description: The null set is a strictly monotone ordinal function. (Contributed by Andrew Salmon, 20-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
smo0 Smo ∅

Proof of Theorem smo0
StepHypRef Expression
1 ord0 5939 . . 3 Ord ∅
21iordsmo 7625 . 2 Smo ( I ↾ ∅)
3 res0 5556 . . 3 ( I ↾ ∅) = ∅
4 smoeq 7618 . . 3 (( I ↾ ∅) = ∅ → (Smo ( I ↾ ∅) ↔ Smo ∅))
53, 4ax-mp 5 . 2 (Smo ( I ↾ ∅) ↔ Smo ∅)
62, 5mpbi 220 1 Smo ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1632  c0 4059   I cid 5174  cres 5269  Smo wsmo 7613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-ord 5888  df-on 5889  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-fv 6058  df-smo 7614
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator