Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsuplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsuplem2 41542
Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsuplem2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsuplem2.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem2.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem2.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
smfsuplem2.8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
smfsuplem2 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑦,𝐷,𝑥   𝑛,𝐹,𝑦,𝑥   𝑦,𝑆   𝑛,𝑍,𝑦,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfsuplem2
Dummy variables 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2902 . . 3 𝑛𝐹
2 smfsuplem2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 smfsuplem2.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfsuplem2.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5 eqid 2760 . . 3 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
6 eqid 2760 . . 3 (SalGen‘(topGen‘ran (,))) = (SalGen‘(topGen‘ran (,)))
7 mnfxr 10308 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
9 smfsuplem2.8 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
108, 9, 5, 6iocborel 41095 . . 3 (𝜑 → (-∞(,]𝐴) ∈ (SalGen‘(topGen‘ran (,))))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10smfpimcc 41538 . 2 (𝜑 → ∃(:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛))))
12 smfsuplem2.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
143adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → 𝑆 ∈ SAlg)
154adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
16 smfsuplem2.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
17 fveq2 6353 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
1817dmeqd 5481 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑚))
1918cbviinv 4712 . . . . . . . 8 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) = 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚)
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) = 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚))
21 fveq2 6353 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑛)‘𝑥) = ((𝐹𝑛)‘𝑤))
2221breq1d 4814 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
2322ralbidv 3124 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
2417fveq1d 6355 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛)‘𝑤) = ((𝐹𝑚)‘𝑤))
2524breq1d 4814 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
2625cbvralv 3310 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦)
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
2823, 27bitrd 268 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
2928rexbidv 3190 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
3020, 29cbvrabv2 39828 . . . . . 6 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑤 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦}
3116, 30eqtri 2782 . . . . 5 𝐷 = {𝑤 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦}
32 smfsuplem2.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
3321mpteq2dv 4897 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)))
3424cbvmptv 4902 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
3633, 35eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
3736rneqd 5508 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
3837supeq1d 8519 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
3938cbvmptv 4902 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤𝐷 ↦ sup(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
4032, 39eqtri 2782 . . . . 5 𝐺 = (𝑤𝐷 ↦ sup(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
419adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
42 simprl 811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → :𝑍𝑆)
43 simplrr 820 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) ∧ 𝑚𝑍) → ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
4417cnveqd 5453 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚(𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
4544imaeq1d 5623 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝐹𝑚) “ (-∞(,]𝐴)))
46 fveq2 6353 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛) = (𝑚))
4746, 18ineq12d 3958 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)) = ((𝑚) ∩ dom (𝐹𝑚)))
4845, 47eqeq12d 2775 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)) ↔ ((𝐹𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑚) ∩ dom (𝐹𝑚))))
4948rspccva 3448 . . . . . 6 ((∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑚) ∩ dom (𝐹𝑚)))
5043, 49sylancom 704 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑚) ∩ dom (𝐹𝑚)))
5113, 2, 14, 15, 31, 40, 41, 42, 50smfsuplem1 41541 . . . 4 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷))
5251ex 449 . . 3 (𝜑 → ((:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛))) → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5352exlimdv 2010 . 2 (𝜑 → (∃(:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛))) → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5411, 53mpd 15 1 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  {crab 3054  cin 3714   ciin 4673   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267  cima 5269  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  supcsup 8513  cr 10147  -∞cmnf 10284  *cxr 10285   < clt 10286  cle 10287  cz 11589  cuz 11899  (,)cioo 12388  (,]cioc 12389  t crest 16303  topGenctg 16320  SAlgcsalg 41049  SalGencsalgen 41053  SMblFncsmblfn 41433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-ac2 9497  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-ac 9149  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-fl 12807  df-rest 16305  df-topgen 16326  df-top 20921  df-bases 20972  df-salg 41050  df-salgen 41054  df-smblfn 41434
This theorem is referenced by:  smfsuplem3  41543
  Copyright terms: Public domain W3C validator