Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfsuplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfsuplem2 41542
 Description: The supremum of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (b) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfsuplem2.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfsuplem2.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfsuplem2.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfsuplem2.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfsuplem2.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
smfsuplem2.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
smfsuplem2.8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
smfsuplem2 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑦,𝐷,𝑥   𝑛,𝐹,𝑦,𝑥   𝑦,𝑆   𝑛,𝑍,𝑦,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑛)   𝑆(𝑥,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑛)

Proof of Theorem smfsuplem2
Dummy variables 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2902 . . 3 𝑛𝐹
2 smfsuplem2.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 smfsuplem2.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfsuplem2.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5 eqid 2760 . . 3 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
6 eqid 2760 . . 3 (SalGen‘(topGen‘ran (,))) = (SalGen‘(topGen‘ran (,)))
7 mnfxr 10308 . . . . 5 -∞ ∈ ℝ*
87a1i 11 . . . 4 (𝜑 → -∞ ∈ ℝ*)
9 smfsuplem2.8 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
108, 9, 5, 6iocborel 41095 . . 3 (𝜑 → (-∞(,]𝐴) ∈ (SalGen‘(topGen‘ran (,))))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10smfpimcc 41538 . 2 (𝜑 → ∃(:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛))))
12 smfsuplem2.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1312adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
143adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → 𝑆 ∈ SAlg)
154adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
16 smfsuplem2.d . . . . . 6 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦}
17 fveq2 6353 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
1817dmeqd 5481 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → dom (𝐹𝑛) = dom (𝐹𝑚))
1918cbviinv 4712 . . . . . . . 8 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) = 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚)
2019a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) = 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚))
21 fveq2 6353 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑛)‘𝑥) = ((𝐹𝑛)‘𝑤))
2221breq1d 4814 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
2322ralbidv 3124 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦))
2417fveq1d 6355 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛)‘𝑤) = ((𝐹𝑚)‘𝑤))
2524breq1d 4814 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
2625cbvralv 3310 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦)
2726a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑤) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
2823, 27bitrd 268 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
2928rexbidv 3190 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦))
3020, 29cbvrabv2 39828 . . . . . 6 {𝑥 𝑛𝑍 dom (𝐹𝑛) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛)‘𝑥) ≤ 𝑦} = {𝑤 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦}
3116, 30eqtri 2782 . . . . 5 𝐷 = {𝑤 𝑚𝑍 dom (𝐹𝑚) ∣ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑚𝑍 ((𝐹𝑚)‘𝑤) ≤ 𝑦}
32 smfsuplem2.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ))
3321mpteq2dv 4897 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)))
3424cbvmptv 4902 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤))
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑤)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
3633, 35eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
3736rneqd 5508 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)) = ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)))
3837supeq1d 8519 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑤 → sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
3938cbvmptv 4902 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↦ sup(ran (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)‘𝑥)), ℝ, < )) = (𝑤𝐷 ↦ sup(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
4032, 39eqtri 2782 . . . . 5 𝐺 = (𝑤𝐷 ↦ sup(ran (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑤)), ℝ, < ))
419adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
42 simprl 811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → :𝑍𝑆)
43 simplrr 820 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) ∧ 𝑚𝑍) → ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))
4417cnveqd 5453 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚(𝐹𝑛) = (𝐹𝑚))
4544imaeq1d 5623 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝐹𝑚) “ (-∞(,]𝐴)))
46 fveq2 6353 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛) = (𝑚))
4746, 18ineq12d 3958 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)) = ((𝑚) ∩ dom (𝐹𝑚)))
4845, 47eqeq12d 2775 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)) ↔ ((𝐹𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑚) ∩ dom (𝐹𝑚))))
4948rspccva 3448 . . . . . 6 ((∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑚) ∩ dom (𝐹𝑚)))
5043, 49sylancom 704 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) ∧ 𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑚) ∩ dom (𝐹𝑚)))
5113, 2, 14, 15, 31, 40, 41, 42, 50smfsuplem1 41541 . . . 4 ((𝜑 ∧ (:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛)))) → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷))
5251ex 449 . . 3 (𝜑 → ((:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛))) → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5352exlimdv 2010 . 2 (𝜑 → (∃(:𝑍𝑆 ∧ ∀𝑛𝑍 ((𝐹𝑛) “ (-∞(,]𝐴)) = ((𝑛) ∩ dom (𝐹𝑛))) → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷)))
5411, 53mpd 15 1 (𝜑 → (𝐺 “ (-∞(,]𝐴)) ∈ (𝑆t 𝐷))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632  ∃wex 1853   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  {crab 3054   ∩ cin 3714  ∩ ciin 4673   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ◡ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267   “ cima 5269  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  supcsup 8513  ℝcr 10147  -∞cmnf 10284  ℝ*cxr 10285   < clt 10286   ≤ cle 10287  ℤcz 11589  ℤ≥cuz 11899  (,)cioo 12388  (,]cioc 12389   ↾t crest 16303  topGenctg 16320  SAlgcsalg 41049  SalGencsalgen 41053  SMblFncsmblfn 41433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-ac2 9497  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-ac 9149  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-fl 12807  df-rest 16305  df-topgen 16326  df-top 20921  df-bases 20972  df-salg 41050  df-salgen 41054  df-smblfn 41434 This theorem is referenced by:  smfsuplem3  41543
 Copyright terms: Public domain W3C validator