Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfrec Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfrec 41317
Description: The reciprocal of a sigma-measurable functions is sigma-measurable. First part of Proposition 121E (e) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfrec.x 𝑥𝜑
smfrec.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfrec.a (𝜑𝐴𝑉)
smfrec.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfrec.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfrec.e 𝐶 = {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0}
Assertion
Ref Expression
smfrec (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfrec
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfrec.x . 2 𝑥𝜑
2 nfv 1883 . 2 𝑎𝜑
3 smfrec.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfrec.e . . . 4 𝐶 = {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0}
5 ssrab2 3720 . . . 4 {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0} ⊆ 𝐴
64, 5eqsstri 3668 . . 3 𝐶𝐴
7 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
8 smfrec.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
91, 7, 8dmmptdf 39731 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
109eqcomd 2657 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
11 smfrec.m . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12 eqid 2651 . . . . 5 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
133, 11, 12smfdmss 41263 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
1410, 13eqsstrd 3672 . . 3 (𝜑𝐴 𝑆)
156, 14syl5ss 3647 . 2 (𝜑𝐶 𝑆)
16 1red 10093 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 1 ∈ ℝ)
176sseli 3632 . . . . 5 (𝑥𝐶𝑥𝐴)
1817adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐴)
1918, 8syldan 486 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
204eleq2i 2722 . . . . . 6 (𝑥𝐶𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0})
2120biimpi 206 . . . . 5 (𝑥𝐶𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0})
22 rabidim2 39598 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑥𝐴𝐵 ≠ 0} → 𝐵 ≠ 0)
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝑥𝐶𝐵 ≠ 0)
2423adantl 481 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
2516, 19, 24redivcld 10891 . 2 ((𝜑𝑥𝐶) → (1 / 𝐵) ∈ ℝ)
26 nfv 1883 . . . . . . 7 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
271, 26nfan 1868 . . . . . 6 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
28 nfv 1883 . . . . . 6 𝑥0 < 𝑎
2927, 28nfan 1868 . . . . 5 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎)
3019ad4ant14 1317 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
3123adantl 481 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
32 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
33 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 0 < 𝑎)
3432, 33elrpd 11907 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ+)
3534adantll 750 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ+)
3629, 30, 31, 35pimrecltpos 41240 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = ({𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐶𝐵 < 0}))
37 smfrec.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
384, 37rabexd 4846 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ V)
39 eqid 2651 . . . . . . 7 (𝑆t 𝐶) = (𝑆t 𝐶)
403, 38, 39subsalsal 40895 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆t 𝐶) ∈ SAlg)
4140ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (𝑆t 𝐶) ∈ SAlg)
423adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
4342adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → 𝑆 ∈ SAlg)
446a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝐴)
453, 11, 44sssmfmpt 41280 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4645adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4746adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4834rprecred 11921 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑎) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
4948adantll 750 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
5029, 43, 30, 47, 49smfpimgtmpt 41310 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∈ (𝑆t 𝐶))
51 0red 10079 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
521, 3, 19, 45, 51smfpimltmpt 41276 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥𝐶𝐵 < 0} ∈ (𝑆t 𝐶))
5352ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶𝐵 < 0} ∈ (𝑆t 𝐶))
5441, 50, 53saluncld 40884 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → ({𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝑎) < 𝐵} ∪ {𝑥𝐶𝐵 < 0}) ∈ (𝑆t 𝐶))
5536, 54eqeltrd 2730 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
56 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑥 𝑎 = 0
571, 56nfan 1868 . . . . . . 7 𝑥(𝜑𝑎 = 0)
58 breq2 4689 . . . . . . . . 9 (𝑎 = 0 → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
5958ad2antlr 763 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 = 0) ∧ 𝑥𝐶) → ((1 / 𝐵) < 𝑎 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
6019, 24reclt0 39927 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐵 < 0 ↔ (1 / 𝐵) < 0))
6160bicomd 213 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → ((1 / 𝐵) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
6261adantlr 751 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 = 0) ∧ 𝑥𝐶) → ((1 / 𝐵) < 0 ↔ 𝐵 < 0))
6359, 62bitrd 268 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 = 0) ∧ 𝑥𝐶) → ((1 / 𝐵) < 𝑎𝐵 < 0))
6457, 63rabbida 39588 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 = 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = {𝑥𝐶𝐵 < 0})
6552adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 = 0) → {𝑥𝐶𝐵 < 0} ∈ (𝑆t 𝐶))
6664, 65eqeltrd 2730 . . . . 5 ((𝜑𝑎 = 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
6766ad4ant14 1317 . . . 4 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ 𝑎 = 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
68 simpll 805 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → (𝜑𝑎 ∈ ℝ))
69 simpll 805 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
70 0red 10079 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 0 ∈ ℝ)
71 neqne 2831 . . . . . . . 8 𝑎 = 0 → 𝑎 ≠ 0)
7271adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 ≠ 0)
73 simplr 807 . . . . . . 7 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → ¬ 0 < 𝑎)
7469, 70, 72, 73lttri5d 39827 . . . . . 6 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 < 0)
7574adantlll 754 . . . . 5 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → 𝑎 < 0)
76 nfv 1883 . . . . . . . 8 𝑥 𝑎 < 0
7727, 76nfan 1868 . . . . . . 7 𝑥((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0)
788adantlr 751 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7917, 78sylan2 490 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
8079adantlr 751 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
8123adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐵 ≠ 0)
82 simpr 476 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
8382adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
84 simpr 476 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 < 0)
8577, 80, 81, 83, 84pimrecltneg 41254 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} = {𝑥𝐶𝐵 ∈ ((1 / 𝑎)(,)0)})
8642adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝑆 ∈ SAlg)
8738ad2antrr 762 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 𝐶 ∈ V)
8846adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (𝑥𝐶𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
89 1red 10093 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 1 ∈ ℝ)
90 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ∈ ℝ)
91 lt0ne0 10532 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → 𝑎 ≠ 0)
9289, 90, 91redivcld 10891 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
9392adantll 750 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ)
9493rexrd 10127 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → (1 / 𝑎) ∈ ℝ*)
9551ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 0 ∈ ℝ)
9695rexrd 10127 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → 0 ∈ ℝ*)
9777, 86, 87, 80, 88, 94, 96smfpimioompt 41314 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥𝐶𝐵 ∈ ((1 / 𝑎)(,)0)} ∈ (𝑆t 𝐶))
9885, 97eqeltrd 2730 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑎 < 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
9968, 75, 98syl2anc 694 . . . 4 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) ∧ ¬ 𝑎 = 0) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
10067, 99pm2.61dan 849 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ ¬ 0 < 𝑎) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
10155, 100pm2.61dan 849 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥𝐶 ∣ (1 / 𝐵) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐶))
1021, 2, 3, 15, 25, 101issmfdmpt 41278 1 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (1 / 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wnf 1748  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  Vcvv 3231  cun 3605  wss 3607   cuni 4468   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112   / cdiv 10722  +crp 11870  (,)cioo 12213  t crest 16128  SAlgcsalg 40846  SMblFncsmblfn 41230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fl 12633  df-rest 16130  df-salg 40847  df-smblfn 41231
This theorem is referenced by:  smfdiv  41325
  Copyright terms: Public domain W3C validator