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Theorem smfmullem4 41515
Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmullem4.x 𝑥𝜑
smfmullem4.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfmullem4.a (𝜑𝐴𝑉)
smfmullem4.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmullem4.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfmullem4.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmullem4.n (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfmullem4.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
smfmullem4.k 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
smfmullem4.e 𝐸 = (𝑞𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
Assertion
Ref Expression
smfmullem4 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞,𝑢,𝑣,𝑥   𝐵,𝑞,𝑢,𝑣   𝐶,𝑞,𝑢,𝑣,𝑥   𝐷,𝑞,𝑢,𝑣   𝐾,𝑞,𝑥   𝑅,𝑞,𝑢,𝑣   𝑆,𝑞   𝜑,𝑞,𝑢,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐸(𝑥,𝑣,𝑢,𝑞)   𝐾(𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑣,𝑢,𝑞)

Proof of Theorem smfmullem4
StepHypRef Expression
1 smfmullem4.x . . . . 5 𝑥𝜑
2 smfmullem4.r . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
323ad2ant1 1126 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝑅 ∈ ℝ)
4 smfmullem4.k . . . . . . . . 9 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
5 inss1 3979 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴
65a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴)
76sselda 3750 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐴)
8 smfmullem4.b . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
97, 8syldan 571 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
1093adant3 1125 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 elinel2 3949 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐶)
1211adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐶)
13 smfmullem4.d . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
1412, 13syldan 571 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
15143adant3 1125 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝐷 ∈ ℝ)
16 simp3 1131 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
17 eqid 2770 . . . . . . . . 9 ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))) = ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷))))
18 eqid 2770 . . . . . . . . 9 if(1 ≤ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))), 1, ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷))))) = if(1 ≤ ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))), 1, ((𝑅 − (𝐵 · 𝐷)) / (1 + ((abs‘𝐵) + (abs‘𝐷)))))
193, 4, 10, 15, 16, 17, 18smfmullem3 41514 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → ∃𝑞𝐾 (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
20 rabid 3263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ↔ (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
2120bicomi 214 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
2221biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
2322adantll 685 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
2423adantlr 686 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ 𝑞𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
25 smfmullem4.e . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐸 = (𝑞𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 = (𝑞𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}))
27 inrab 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))}) = {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}
28 smfmullem4.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
29 smfmullem4.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑𝐴𝑉)
3029, 6ssexd 4936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ V)
31 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑆t (𝐴𝐶)) = (𝑆t (𝐴𝐶))
3228, 30, 31subsalsal 41088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
3332adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑆t (𝐴𝐶)) ∈ SAlg)
34 nfv 1994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 𝑞𝐾
351, 34nfan 1979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥(𝜑𝑞𝐾)
3628adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → 𝑆 ∈ SAlg)
3730adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝐴𝐶) ∈ V)
389adantlr 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
39 smfmullem4.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4028, 39, 6sssmfmpt 41473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
4140adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
42 ssrab2 3834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅} ⊆ (ℚ ↑𝑚 (0...3))
434, 42eqsstri 3782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝐾 ⊆ (ℚ ↑𝑚 (0...3))
44 reex 10228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ℝ ∈ V
45 qssre 12000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ℚ ⊆ ℝ
46 mapss 8053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (0...3)))
4744, 45, 46mp2an 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (0...3))
4843, 47sstri 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝐾 ⊆ (ℝ ↑𝑚 (0...3))
49 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑞𝐾𝑞𝐾)
5048, 49sseldi 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑞𝐾𝑞 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...3)))
5144a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑞𝐾 → ℝ ∈ V)
52 ovexd 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑞𝐾 → (0...3) ∈ V)
5351, 52elmapd 8022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑞𝐾 → (𝑞 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...3)) ↔ 𝑞:(0...3)⟶ℝ))
5450, 53mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝐾𝑞:(0...3)⟶ℝ)
55 0z 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ∈ ℤ
56 3z 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 ∈ ℤ
57 0re 10241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 ∈ ℝ
58 3re 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 ∈ ℝ
59 3pos 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 0 < 3
6057, 58, 59ltleii 10361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ≤ 3
6155, 56, 603pm3.2i 1422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3)
62 eluz2 11893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (3 ∈ (ℤ‘0) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 3))
6361, 62mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 ∈ (ℤ‘0)
64 eluzfz1 12554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (3 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...3))
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0 ∈ (0...3)
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝐾 → 0 ∈ (0...3))
6754, 66ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞𝐾 → (𝑞‘0) ∈ ℝ)
6867adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘0) ∈ ℝ)
6968rexrd 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘0) ∈ ℝ*)
70 0le1 10752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ≤ 1
71 1re 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 ∈ ℝ
72 1lt3 11397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 < 3
7371, 58, 72ltleii 10361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ≤ 3
7470, 73pm3.2i 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3)
75 1z 11608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℤ
76 elfz 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (1 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3)))
7775, 55, 56, 76mp3an 1571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 3))
7874, 77mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ (0...3)
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝐾 → 1 ∈ (0...3))
8054, 79ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞𝐾 → (𝑞‘1) ∈ ℝ)
8180adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘1) ∈ ℝ)
8281rexrd 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘1) ∈ ℝ*)
8335, 36, 37, 38, 41, 69, 82smfpimioompt 41507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
8414adantlr 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
85 smfmullem4.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
861, 12ssdf 39762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐶)
8728, 85, 86sssmfmpt 41473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
8887adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ 𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
89 0le2 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ≤ 2
90 2re 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 ∈ ℝ
91 2lt3 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 < 3
9290, 58, 91ltleii 10361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ≤ 3
9389, 92pm3.2i 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3)
94 2z 11610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℤ
95 elfz 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((2 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (2 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3)))
9694, 55, 56, 95mp3an 1571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 ∈ (0...3) ↔ (0 ≤ 2 ∧ 2 ≤ 3))
9793, 96mpbir 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ (0...3)
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝐾 → 2 ∈ (0...3))
9954, 98ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞𝐾 → (𝑞‘2) ∈ ℝ)
10099adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘2) ∈ ℝ)
101100rexrd 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘2) ∈ ℝ*)
102 eluzfz2 12555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (3 ∈ (ℤ‘0) → 3 ∈ (0...3))
10363, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 ∈ (0...3)
104103a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑞𝐾 → 3 ∈ (0...3))
10554, 104ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞𝐾 → (𝑞‘3) ∈ ℝ)
106105adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘3) ∈ ℝ)
107106rexrd 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑞‘3) ∈ ℝ*)
10835, 36, 37, 84, 88, 101, 107smfpimioompt 41507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
10933, 83, 108salincld 41081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑞𝐾) → ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))} ∩ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))}) ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
11027, 109syl5eqelr 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
111110elexd 3363 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ∈ V)
11226, 111fvmpt2d 6435 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝐸𝑞) = {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
113112eqcomd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸𝑞))
114113adantlr 686 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ 𝑞𝐾) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸𝑞))
115114adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ 𝑞𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} = (𝐸𝑞))
11624, 115eleqtrd 2851 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ 𝑞𝐾) ∧ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑞))
117116ex 397 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) ∧ 𝑞𝐾) → ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)))
1181173adantl3 1172 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) ∧ 𝑞𝐾) → ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)))
119118reximdva 3164 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → (∃𝑞𝐾 (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))) → ∃𝑞𝐾 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)))
12019, 119mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → ∃𝑞𝐾 𝑥 ∈ (𝐸𝑞))
121 eliun 4656 . . . . . . 7 (𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞) ↔ ∃𝑞𝐾 𝑥 ∈ (𝐸𝑞))
122120, 121sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∧ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅) → 𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞))
1231223exp 1111 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → ((𝐵 · 𝐷) < 𝑅𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞))))
1241, 123ralrimi 3105 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐶)((𝐵 · 𝐷) < 𝑅𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞)))
12534nfci 2902 . . . . . 6 𝑥𝐾
126 nfrab1 3270 . . . . . . . . 9 𝑥{𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))}
127125, 126nfmpt 4878 . . . . . . . 8 𝑥(𝑞𝐾 ↦ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
12825, 127nfcxfr 2910 . . . . . . 7 𝑥𝐸
129 nfcv 2912 . . . . . . 7 𝑥𝑞
130128, 129nffv 6339 . . . . . 6 𝑥(𝐸𝑞)
131125, 130nfiun 4680 . . . . 5 𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞)
132131rabssf 39817 . . . 4 ({𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ⊆ 𝑞𝐾 (𝐸𝑞) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐶)((𝐵 · 𝐷) < 𝑅𝑥 𝑞𝐾 (𝐸𝑞)))
133124, 132sylibr 224 . . 3 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ⊆ 𝑞𝐾 (𝐸𝑞))
134 ssrab2 3834 . . . . . . 7 {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} ⊆ (𝐴𝐶)
135112, 134syl6eqss 3802 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝐸𝑞) ⊆ (𝐴𝐶))
136 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝑞))
137112adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → (𝐸𝑞) = {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
138136, 137eleqtrd 2851 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → 𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))})
139 rabidim2 39799 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))} → (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
140138, 139syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → (𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
141140simprd 477 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → 𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))
142140simpld 476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → 𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)))
14349, 4syl6eleq 2859 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞𝐾𝑞 ∈ {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅})
144 rabidim2 39799 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ {𝑞 ∈ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅} → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑞𝐾 → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
146145ad2antlr 698 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅)
147 oveq1 6799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝐵 → (𝑢 · 𝑣) = (𝐵 · 𝑣))
148147breq1d 4794 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝐵 → ((𝑢 · 𝑣) < 𝑅 ↔ (𝐵 · 𝑣) < 𝑅))
149148ralbidv 3134 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝐵 → (∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅 ↔ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅))
150149rspcva 3456 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅) → ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅)
151142, 146, 150syl2anc 565 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅)
152 oveq2 6800 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝐷 → (𝐵 · 𝑣) = (𝐵 · 𝐷))
153152breq1d 4794 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝐷 → ((𝐵 · 𝑣) < 𝑅 ↔ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
154153rspcva 3456 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)) ∧ ∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝐵 · 𝑣) < 𝑅) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
155141, 151, 154syl2anc 565 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑞𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑞)) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
156155ex 397 . . . . . . 7 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝑥 ∈ (𝐸𝑞) → (𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
15735, 156ralrimi 3105 . . . . . 6 ((𝜑𝑞𝐾) → ∀𝑥 ∈ (𝐸𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅)
158135, 157jca 495 . . . . 5 ((𝜑𝑞𝐾) → ((𝐸𝑞) ⊆ (𝐴𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐸𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
159 nfcv 2912 . . . . . 6 𝑥(𝐴𝐶)
160130, 159ssrabf 39813 . . . . 5 ((𝐸𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ↔ ((𝐸𝑞) ⊆ (𝐴𝐶) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐸𝑞)(𝐵 · 𝐷) < 𝑅))
161158, 160sylibr 224 . . . 4 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝐸𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅})
162161iunssd 39786 . . 3 (𝜑 𝑞𝐾 (𝐸𝑞) ⊆ {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅})
163133, 162eqssd 3767 . 2 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} = 𝑞𝐾 (𝐸𝑞))
164 ovex 6822 . . . . . . 7 (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∈ V
165 ssdomg 8154 . . . . . . 7 ((ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∈ V → (𝐾 ⊆ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) → 𝐾 ≼ (ℚ ↑𝑚 (0...3))))
166164, 165ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐾 ⊆ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) → 𝐾 ≼ (ℚ ↑𝑚 (0...3)))
16743, 166ax-mp 5 . . . . 5 𝐾 ≼ (ℚ ↑𝑚 (0...3))
168 qct 40088 . . . . . . . 8 ℚ ≼ ω
169168a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℚ ≼ ω)
170 fzfid 12979 . . . . . . 7 (⊤ → (0...3) ∈ Fin)
171169, 170mpct 39905 . . . . . 6 (⊤ → (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ≼ ω)
172171trud 1640 . . . . 5 (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ≼ ω
173 domtr 8161 . . . . 5 ((𝐾 ≼ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ∧ (ℚ ↑𝑚 (0...3)) ≼ ω) → 𝐾 ≼ ω)
174167, 172, 173mp2an 664 . . . 4 𝐾 ≼ ω
175174a1i 11 . . 3 (𝜑𝐾 ≼ ω)
176110, 25fmptd 6527 . . . 4 (𝜑𝐸:𝐾⟶(𝑆t (𝐴𝐶)))
177176ffvelrnda 6502 . . 3 ((𝜑𝑞𝐾) → (𝐸𝑞) ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
17832, 175, 177saliuncl 41053 . 2 (𝜑 𝑞𝐾 (𝐸𝑞) ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
179163, 178eqeltrd 2849 1 (𝜑 → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 · 𝐷) < 𝑅} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wtru 1631  wnf 1855  wcel 2144  wral 3060  wrex 3061  {crab 3064  Vcvv 3349  cin 3720  wss 3721  ifcif 4223   ciun 4652   class class class wbr 4784  cmpt 4861  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  ωcom 7211  𝑚 cmap 8008  cdom 8106  cr 10136  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140   · cmul 10142   < clt 10275  cle 10276  cmin 10467   / cdiv 10885  2c2 11271  3c3 11272  cz 11578  cuz 11887  cq 11990  (,)cioo 12379  ...cfz 12532  abscabs 14181  t crest 16288  SAlgcsalg 41039  SMblFncsmblfn 41423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cc 9458  ax-ac2 9486  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-omul 7717  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-acn 8967  df-ac 9138  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-s1 13497  df-s2 13801  df-s3 13802  df-s4 13803  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-rest 16290  df-salg 41040  df-smblfn 41424
This theorem is referenced by:  smfmul  41516
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