Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfmulc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfmulc1 41520
Description: A sigma-measurable function multiplied by a constant is sigma-measurable. Proposition 121E (c) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmulc1.x 𝑥𝜑
smfmulc1.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfmulc1.a (𝜑𝐴𝑉)
smfmulc1.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfmulc1.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
smfmulc1.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
smfmulc1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smfmulc1
StepHypRef Expression
1 inidm 3971 . . . . 5 (𝐴𝐴) = 𝐴
21eqcomi 2780 . . . 4 𝐴 = (𝐴𝐴)
32mpteq1i 4874 . . 3 (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵))
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵)))
5 smfmulc1.x . . 3 𝑥𝜑
6 smfmulc1.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
7 smfmulc1.a . . 3 (𝜑𝐴𝑉)
8 smfmulc1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
98adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
10 smfmulc1.b . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
11 eqid 2771 . . . . . . 7 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
125, 11, 10dmmptdf 39934 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
1312eqcomd 2777 . . . . 5 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
14 smfmulc1.m . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
15 eqid 2771 . . . . . 6 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
166, 14, 15smfdmss 41459 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
1713, 16eqsstrd 3788 . . . 4 (𝜑𝐴 𝑆)
18 eqid 2771 . . . 4 (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶)
195, 6, 17, 8, 18smfconst 41475 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ (SMblFn‘𝑆))
205, 6, 7, 9, 10, 19, 14smfmul 41519 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐴) ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
214, 20eqeltrd 2850 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐶 · 𝐵)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wnf 1856  wcel 2145  cin 3722   cuni 4575  cmpt 4864  dom cdm 5250  cfv 6030  (class class class)co 6796  cr 10141   · cmul 10147  SAlgcsalg 41042  SMblFncsmblfn 41426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cc 9463  ax-ac2 9491  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-ac 9143  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-word 13495  df-concat 13497  df-s1 13498  df-s2 13802  df-s3 13803  df-s4 13804  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-rest 16291  df-salg 41043  df-smblfn 41427
This theorem is referenced by:  smf2id  41525  smfneg  41527
  Copyright terms: Public domain W3C validator