Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimsuplem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimsuplem7 41353
Description: The superior limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (d) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimsuplem7.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem7.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimsuplem7.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem7.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem7.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smflimsuplem7.e 𝐸 = (𝑘𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem7.h 𝐻 = (𝑘𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑘) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
Assertion
Ref Expression
smflimsuplem7 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
Distinct variable groups:   𝑘,𝐸,𝑥   𝑘,𝐹,𝑚,𝑛,𝑥   𝑘,𝐻,𝑚,𝑛,𝑥   𝑚,𝑀   𝑘,𝑍,𝑚,𝑛,𝑥   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐸(𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem smflimsuplem7
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smflimsuplem7.d . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
21a1i 11 . 2 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
3 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → 𝜑)
4 rabidim2 39598 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
54adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
6 rabidim1 3147 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
7 eliun 4556 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
86, 7sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
10 nfv 1883 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
11 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚𝜑
12 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑚lim sup
13 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑚(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))
1412, 13nffv 6236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑚(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
15 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑚
1614, 15nfel 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ
1711, 16nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚(𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
18 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚 𝑛𝑍
19 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚𝑥
20 nfii1 4583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑚 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
2119, 20nfel 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑚 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
2217, 18, 21nf3an 1871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
23 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑚 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)
2422, 23nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚(((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛))
25 simpl1l 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
26 smflimsuplem7.m . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑀 ∈ ℤ)
28 smflimsuplem7.z . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑍 = (ℤ𝑀)
29 smflimsuplem7.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3025, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑆 ∈ SAlg)
31 smflimsuplem7.f . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
3225, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
33 smflimsuplem7.e . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐸 = (𝑘𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
34 smflimsuplem7.h . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐻 = (𝑘𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑘) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
3528uztrn2 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘𝑍)
36353ad2antl2 1244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘𝑍)
37 simpl1r 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
38 uzss 11746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → (ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑛))
39 iinss1 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℤ𝑘) ⊆ (ℤ𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (ℤ𝑛) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚))
42 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
4341, 42sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚))
44433ad2antl3 1245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚))
4524, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 36, 37, 44smflimsuplem2 41348 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑥 ∈ dom (𝐻𝑘))
4645ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐻𝑘))
47 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥 ∈ V
48 eliin 4557 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ V → (𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐻𝑘)))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)𝑥 ∈ dom (𝐻𝑘))
5046, 49sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
51503exp 1283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (𝑛𝑍 → (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))))
5210, 51reximdai 3041 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)))
5352imp 444 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
54 eliun 4556 . . . . . . . . . 10 (𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ↔ ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
5553, 54sylibr 224 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
563, 5, 9, 55syl21anc 1365 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → 𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
577biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
586, 57syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
5958adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
60 nfv 1883 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝜑
61 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑛𝑥
62 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛(lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ
63 nfiu1 4582 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
6462, 63nfrab 3153 . . . . . . . . . . . 12 𝑛{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
6561, 64nfel 2806 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
6660, 65nfan 1868 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
67 nfv 1883 . . . . . . . . . 10 𝑛(𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
68 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
69 simp1l 1105 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝜑)
7069, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑀 ∈ ℤ)
7169, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑆 ∈ SAlg)
7269, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
73 simp1r 1106 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
74 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑛𝑍)
75 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
7668, 22, 70, 28, 71, 72, 33, 34, 73, 74, 75smflimsuplem6 41352 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
77763exp 1283 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ) → (𝑛𝑍 → (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )))
785, 77syldan 486 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → (𝑛𝑍 → (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )))
7966, 67, 78rexlimd 3055 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → (∃𝑛𝑍 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
8059, 79mpd 15 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
8156, 80jca 553 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → (𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
82 rabid 3145 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↔ (𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ))
8381, 82sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}) → 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
8483ex 449 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} → 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }))
85 ssrab2 3720 . . . . . . . . . 10 {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)
8685a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
8728eluzelz2 39940 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
8887uzidd 39944 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
8988adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
90 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(𝜑𝑛𝑍)
91 xrltso 12012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 < Or ℝ*
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → < Or ℝ*)
9392supexd 8400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑥 ∈ (𝐸𝑛)) → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ V)
94 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))
9590, 93, 94fnmptd 39748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) Fn (𝐸𝑛))
96 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑛 → (𝐸𝑘) = (𝐸𝑛))
97 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 𝑛 → (ℤ𝑘) = (ℤ𝑛))
9897mpteq1d 4771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑛 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
9998rneqd 5385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑛 → ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
10099supeq1d 8393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑛 → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))
10196, 100mpteq12dv 4766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑛 → (𝑥 ∈ (𝐸𝑘) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
102 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐸𝑛) ∈ V
103102mptex 6527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ V
104101, 34, 103fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛𝑍 → (𝐻𝑛) = (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
106105fneq1d 6019 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝐻𝑛) Fn (𝐸𝑛) ↔ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) Fn (𝐸𝑛)))
10795, 106mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) Fn (𝐸𝑛))
108107fndmd 39755 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → dom (𝐻𝑛) = (𝐸𝑛))
10997iineq1d 39581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑛 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) = 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
110109eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑛 → (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) ↔ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)))
111100eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑛 → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
112110, 111anbi12d 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑛 → ((𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) ∧ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) ↔ (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)))
113112rabbidva2 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑛 → {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑘) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
114 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍𝑛𝑍)
115 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
116115mpteq2dv 4778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
117116rneqd 5385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
118117supeq1d 8393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ))
119118eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
120119cbvrabv 3230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑦 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
121 ne0i 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (ℤ𝑛) → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
12288, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
123 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐹𝑚) ∈ V
124123dmex 7141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 dom (𝐹𝑚) ∈ V
125124rgenw 2953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
126125a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
127122, 126iinexd 39632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
128120, 127rabexd 4846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛𝑍 → {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ∈ V)
12933, 113, 114, 128fvmptd3 39761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍 → (𝐸𝑛) = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
130129adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
131 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
132131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍) → {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
133130, 132eqsstrd 3672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
134108, 133eqsstrd 3672 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → dom (𝐻𝑛) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
135 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑛 → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑛))
136135dmeqd 5358 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑛 → dom (𝐻𝑘) = dom (𝐻𝑛))
137136sseq1d 3665 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑛 → (dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ dom (𝐻𝑛) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)))
138137rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ (ℤ𝑛) ∧ dom (𝐻𝑛) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
13989, 134, 138syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → ∃𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
140 iinss 4603 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
141139, 140syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
142141ralrimiva 2995 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
143 ss2iun 4568 . . . . . . . . . 10 (∀𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) → 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
144142, 143syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
14586, 144sstrd 3646 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚))
14682simplbi 475 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → 𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
14754biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
149148adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }) → ∃𝑛𝑍 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
150 nfiu1 4582 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)
15167, 150nfrab 3153 . . . . . . . . . . . . 13 𝑛{𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
15261, 151nfel 2806 . . . . . . . . . . . 12 𝑛 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
15360, 152nfan 1868 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
15482simprbi 479 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
155 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝜑
156 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥))
157 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘dom ⇝
158156, 157nfel 2806 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝
159155, 158nfan 1868 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘(𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
160 nfv 1883 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘 𝑛𝑍
161 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘𝑥
162 nfii1 4583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)
163161, 162nfel 2806 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑘 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)
164159, 160, 163nf3an 1871 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
16526adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑀 ∈ ℤ)
1661653adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → 𝑀 ∈ ℤ)
1671663adant1r 1359 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → 𝑀 ∈ ℤ)
16829adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
1691683adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → 𝑆 ∈ SAlg)
1701693adant1r 1359 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → 𝑆 ∈ SAlg)
17131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
1721713adant3 1101 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
1731723adant1r 1359 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
174 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → 𝑛𝑍)
175 simp3 1083 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘))
176 simp1r 1106 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ )
177164, 167, 28, 170, 173, 33, 34, 174, 175, 176smflimsuplem4 41350 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) ∧ 𝑛𝑍𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘)) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
1781773exp 1283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ ) → (𝑛𝑍 → (𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)))
179154, 178sylan2 490 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }) → (𝑛𝑍 → (𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)))
180153, 62, 179rexlimd 3055 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }) → (∃𝑛𝑍 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
181149, 180mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }) → (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
182181ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ)
183145, 182jca 553 . . . . . . 7 (𝜑 → ({𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
184 nfrab1 3152 . . . . . . . 8 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
185 nfcv 2793 . . . . . . . 8 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
186184, 185ssrabf 39612 . . . . . . 7 ({𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↔ ({𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ))
187183, 186sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ⊆ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ})
188187sseld 3635 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } → 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}))
18984, 188impbid 202 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }))
190189alrimiv 1895 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }))
191 nfrab1 3152 . . . 4 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
192191, 184dfcleqf 39569 . . 3 ({𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} ↔ 𝑥 ∈ {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }))
193190, 192sylibr 224 . 2 (𝜑 → {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim sup‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
1942, 193eqtrd 2685 1 (𝜑𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐻𝑘) ∣ (𝑘𝑍 ↦ ((𝐻𝑘)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054  wal 1521   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948   ciun 4552   ciin 4553  cmpt 4762   Or wor 5063  dom cdm 5143  ran crn 5144   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  supcsup 8387  cr 9973  *cxr 10111   < clt 10112  cz 11415  cuz 11725  lim supclsp 14245  cli 14259  SAlgcsalg 40846  SMblFncsmblfn 41230
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fl 12633  df-ceil 12634  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-smblfn 41231
This theorem is referenced by:  smflimsuplem8  41354
  Copyright terms: Public domain W3C validator