Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimsuplem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimsuplem3 41534
Description: The limit of the (𝐻𝑛) functions is sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimsuplem3.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smflimsuplem3.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimsuplem3.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimsuplem3.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smflimsuplem3.e 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
smflimsuplem3.h 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
Assertion
Ref Expression
smflimsuplem3 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑚,𝐹,𝑥   𝑘,𝐻,𝑥   𝑆,𝑘,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛,𝑥   𝑚,𝑍,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛,𝑥   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑚)   𝐸(𝑘,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐻(𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smflimsuplem3
StepHypRef Expression
1 nfv 1992 . 2 𝑛𝜑
2 nfv 1992 . 2 𝑥𝜑
3 nfv 1992 . 2 𝑘𝜑
4 smflimsuplem3.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
5 smflimsuplem3.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
6 fvex 6362 . . . 4 (𝐻𝑛) ∈ V
76dmex 7264 . . 3 dom (𝐻𝑛) ∈ V
87a1i 11 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → dom (𝐻𝑛) ∈ V)
9 fvexd 6364 . 2 ((𝜑𝑛𝑍𝑥 ∈ dom (𝐻𝑛)) → ((𝐻𝑛)‘𝑥) ∈ V)
10 smflimsuplem3.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
1110adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
12 nfv 1992 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝜑𝑛𝑍)
13 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐸𝑛)
14 nfrab1 3261 . . . . . . . . . 10 𝑥{𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
15 smflimsuplem3.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 = (𝑛𝑍 ↦ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}))
17 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
185eluzelz2 40125 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
19 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
2018, 19uzn0d 40150 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
21 fvex 6362 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹𝑚) ∈ V
2221dmex 7264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (𝐹𝑚) ∈ V
2322rgenw 3062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
2520, 24iinexd 39817 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
2625adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
2717, 26rabexd 4965 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ∈ V)
2816, 27fvmpt2d 6455 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
29 fvres 6368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) = (𝐹𝑚))
3029eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) → (𝐹𝑚) = ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚))
3130adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝐹𝑚) = ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚))
3231dmeqd 5481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → dom (𝐹𝑚) = dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚))
3332iineq2dv 4695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚))
3433eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ↔ 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)))
3530fveq1d 6354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥))
3635mpteq2ia 4892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥))
3736rneqi 5507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥))
3837supeq1i 8518 . . . . . . . . . . . . . . 15 sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛𝑍) → sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))
4039eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛𝑍) → (sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ ↔ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ))
4134, 40anbi12d 749 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∧ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ) ↔ (𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∧ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ)))
4241rabbidva2 3326 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
4328, 42eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐸𝑛) = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ})
4412, 13, 14, 43, 39mpteq12df 4887 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
45 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑚(𝐹 ↾ (ℤ𝑛))
46 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝐹 ↾ (ℤ𝑛))
4718adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
48 smflimsuplem3.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
4948adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → 𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
505eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
5150biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
52 uzss 11900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑀))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ (ℤ𝑀))
5453, 5syl6sseqr 3793 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
5554adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
5649, 55fssresd 6232 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑛)):(ℤ𝑛)⟶(SMblFn‘𝑆))
57 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ}
58 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ))
5945, 46, 47, 19, 11, 56, 57, 58smfsupxr 41528 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom ((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚) ∣ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < ) ∈ ℝ} ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ (((𝐹 ↾ (ℤ𝑛))‘𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
6044, 59eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )) ∈ (SMblFn‘𝑆))
61 smflimsuplem3.h . . . . . . . 8 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ (𝑥 ∈ (𝐸𝑛) ↦ sup(ran (𝑚 ∈ (ℤ𝑛) ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)), ℝ*, < )))
6260, 61fmptd 6548 . . . . . . 7 (𝜑𝐻:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
6362ffvelrnda 6522 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) ∈ (SMblFn‘𝑆))
64 eqid 2760 . . . . . 6 dom (𝐻𝑛) = dom (𝐻𝑛)
6511, 63, 64smff 41447 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛):dom (𝐻𝑛)⟶ℝ)
6665feqmptd 6411 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐻𝑛) = (𝑥 ∈ dom (𝐻𝑛) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)))
6766eqcomd 2766 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐻𝑛) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) = (𝐻𝑛))
6867, 63eqeltrd 2839 . 2 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝑥 ∈ dom (𝐻𝑛) ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
69 eqid 2760 . 2 {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } = {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
70 eqid 2760 . 2 (𝑥 ∈ {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥))))
711, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 68, 69, 70smflimmpt 41522 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑥 𝑘𝑍 𝑛 ∈ (ℤ𝑘)dom (𝐻𝑛) ∣ (𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ↦ ( ⇝ ‘(𝑛𝑍 ↦ ((𝐻𝑛)‘𝑥)))) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  {crab 3054  Vcvv 3340  wss 3715   ciun 4672   ciin 4673  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  wf 6045  cfv 6049  supcsup 8511  cr 10127  *cxr 10265   < clt 10266  cz 11569  cuz 11879  cli 14414  SAlgcsalg 41031  SMblFncsmblfn 41415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-ac2 9477  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-ac 9129  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-rest 16285  df-topgen 16306  df-top 20901  df-bases 20952  df-salg 41032  df-salgen 41036  df-smblfn 41416
This theorem is referenced by:  smflimsuplem8  41539
  Copyright terms: Public domain W3C validator