Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smflimlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smflimlem1 41485
Description: Lemma for the proof that the limit of a sequence of sigma-measurable functions is sigma-measurable, Proposition 121F (a) of [Fremlin1] p. 38 . This lemma proves that (𝐷𝐼) is in the subspace sigma-algebra induced by 𝐷. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smflimlem1.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
smflimlem1.2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smflimlem1.3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
smflimlem1.4 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
smflimlem1.5 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
smflimlem1.6 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
smflimlem1.7 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
Assertion
Ref Expression
smflimlem1 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ (𝑆t 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑟   𝑥,𝐹   𝑃,𝑟   𝑆,𝑘,𝑚,𝑛   𝑆,𝑠   𝑛,𝑍,𝑘,𝑚   𝑥,𝑍,𝑚,𝑛   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛   𝑘,𝑟,𝑚,𝜑
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑠)   𝐴(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝐶(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠)   𝐷(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑃(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝐹(𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝐻(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝐼(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑀(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛,𝑠,𝑟)   𝑍(𝑠,𝑟)

Proof of Theorem smflimlem1
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smflimlem1.2 . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
2 smflimlem1.3 . . . 4 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ }
3 smflimlem1.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
4 fvex 6362 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ∈ V
53, 4eqeltri 2835 . . . . . 6 𝑍 ∈ V
6 uzssz 11899 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
73eleq2i 2831 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
87biimpi 206 . . . . . . . . . . 11 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑀))
96, 8sseldi 3742 . . . . . . . . . 10 (𝑛𝑍𝑛 ∈ ℤ)
10 uzid 11894 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍𝑛 ∈ (ℤ𝑛))
12 ne0i 4064 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑛) → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
14 fvex 6362 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑚) ∈ V
1514dmex 7264 . . . . . . . . . 10 dom (𝐹𝑚) ∈ V
1615rgenw 3062 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
18 iinexg 4973 . . . . . . . 8 (((ℤ𝑛) ≠ ∅ ∧ ∀𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
1913, 17, 18syl2anc 696 . . . . . . 7 (𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
2019rgen 3060 . . . . . 6 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
21 iunexg 7308 . . . . . 6 ((𝑍 ∈ V ∧ ∀𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V) → 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V)
225, 20, 21mp2an 710 . . . . 5 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∈ V
2322rabex 4964 . . . 4 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) ∈ dom ⇝ } ∈ V
242, 23eqeltri 2835 . . 3 𝐷 ∈ V
2524a1i 11 . 2 (𝜑𝐷 ∈ V)
26 smflimlem1.6 . . 3 𝐼 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘)
27 nnct 12974 . . . . 5 ℕ ≼ ω
2827a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≼ ω)
29 nnn0 40093 . . . . 5 ℕ ≠ ∅
3029a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℕ ≠ ∅)
311adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑆 ∈ SAlg)
323uzct 39731 . . . . . 6 𝑍 ≼ ω
3332a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑍 ≼ ω)
3431adantr 472 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑆 ∈ SAlg)
35 eqid 2760 . . . . . . . 8 (ℤ𝑛) = (ℤ𝑛)
3635uzct 39731 . . . . . . 7 (ℤ𝑛) ≼ ω
3736a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ≼ ω)
3813adantl 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → (ℤ𝑛) ≠ ∅)
39 simpll 807 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
4039adantllr 757 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝜑)
41 simpll 807 . . . . . . . 8 (((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
4241adantlll 756 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ)
433uztrn2 11897 . . . . . . . . . 10 ((𝑛𝑍𝑗 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑗𝑍)
4443ssd 39751 . . . . . . . . 9 (𝑛𝑍 → (ℤ𝑛) ⊆ 𝑍)
4544sselda 3744 . . . . . . . 8 ((𝑛𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
4645adantll 752 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → 𝑚𝑍)
47 simp3 1133 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
48 simp2 1132 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝑘 ∈ ℕ)
49 fvex 6362 . . . . . . . . . 10 (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V
5049a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V)
51 smflimlem1.5 . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
5251ovmpt4g 6948 . . . . . . . . 9 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ V) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
5347, 48, 50, 52syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
54 simp1 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → 𝜑)
55 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))}
5655, 1rabexd 4965 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
5754, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
58 smflimlem1.4 . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝑚𝑍, 𝑘 ∈ ℕ ↦ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
5958ovmpt4g 6948 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
6047, 48, 57, 59syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) = {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))})
61 ssrab2 3828 . . . . . . . . . 10 {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ⊆ 𝑆
6260, 61syl6eqss 3796 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) ⊆ 𝑆)
6356ralrimivw 3105 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
6463ralrimivw 3105 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
65643ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V)
6658elrnmpt2id 39926 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ ∧ ∀𝑚𝑍𝑘 ∈ ℕ {𝑠𝑆 ∣ {𝑥 ∈ dom (𝐹𝑚) ∣ ((𝐹𝑚)‘𝑥) < (𝐴 + (1 / 𝑘))} = (𝑠 ∩ dom (𝐹𝑚))} ∈ V) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)
6747, 48, 65, 66syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)
68 ovex 6841 . . . . . . . . . . 11 (𝑚𝑃𝑘) ∈ V
69 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝑟 ∈ ran 𝑃 ↔ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃))
7069anbi2d 742 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) ↔ (𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃)))
71 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (𝐶𝑟) = (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)))
72 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → 𝑟 = (𝑚𝑃𝑘))
7371, 72eleq12d 2833 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → ((𝐶𝑟) ∈ 𝑟 ↔ (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘)))
7470, 73imbi12d 333 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (𝑚𝑃𝑘) → (((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))))
75 smflimlem1.7 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑟 ∈ ran 𝑃) → (𝐶𝑟) ∈ 𝑟)
7668, 74, 75vtocl 3399 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑚𝑃𝑘) ∈ ran 𝑃) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))
7754, 67, 76syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ (𝑚𝑃𝑘))
7862, 77sseldd 3745 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝐶‘(𝑚𝑃𝑘)) ∈ 𝑆)
7953, 78eqeltrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝑚𝑍) → (𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
8040, 42, 46, 79syl3anc 1477 . . . . . 6 ((((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
8134, 37, 38, 80saliincl 41048 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ ℕ) ∧ 𝑛𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
8231, 33, 81saliuncl 41045 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
831, 28, 30, 82saliincl 41048 . . 3 (𝜑 𝑘 ∈ ℕ 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)(𝑚𝐻𝑘) ∈ 𝑆)
8426, 83syl5eqel 2843 . 2 (𝜑𝐼𝑆)
85 incom 3948 . 2 (𝐷𝐼) = (𝐼𝐷)
861, 25, 84, 85elrestd 39790 1 (𝜑 → (𝐷𝐼) ∈ (𝑆t 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  {crab 3054  Vcvv 3340  cin 3714  c0 4058   ciun 4672   ciin 4673   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  ωcom 7230  cdom 8119  1c1 10129   + caddc 10131   < clt 10266   / cdiv 10876  cn 11212  cz 11569  cuz 11879  cli 14414  t crest 16283  SAlgcsalg 41031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rest 16285  df-salg 41032
This theorem is referenced by:  smflimlem5  41489
  Copyright terms: Public domain W3C validator