Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfliminf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfliminf 41551
Description: The inferior limit of a countable set of sigma-measurable functions is sigma-measurable. Proposition 121F (e) of [Fremlin1] p. 39 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
smfliminf.n 𝑚𝐹
smfliminf.x 𝑥𝐹
smfliminf.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
smfliminf.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
smfliminf.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfliminf.f (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
smfliminf.d 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
smfliminf.g 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
Assertion
Ref Expression
smfliminf (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑚,𝑍,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐷(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑆(𝑥,𝑚,𝑛)   𝐹(𝑥,𝑚)   𝐺(𝑥,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑚,𝑛)

Proof of Theorem smfliminf
Dummy variables 𝑦 𝑖 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfliminf.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 smfliminf.z . 2 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 smfliminf.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 smfliminf.f . 2 (𝜑𝐹:𝑍⟶(SMblFn‘𝑆))
5 smfliminf.d . . 3 𝐷 = {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
6 nfcv 2912 . . . . 5 𝑥𝑍
7 nfcv 2912 . . . . . 6 𝑥(ℤ𝑛)
8 smfliminf.x . . . . . . . 8 𝑥𝐹
9 nfcv 2912 . . . . . . . 8 𝑥𝑚
108, 9nffv 6339 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑚)
1110nfdm 5505 . . . . . 6 𝑥dom (𝐹𝑚)
127, 11nfiin 4681 . . . . 5 𝑥 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
136, 12nfiun 4680 . . . 4 𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
14 nfcv 2912 . . . . . 6 𝑥(ℤ𝑖)
15 nfcv 2912 . . . . . . . 8 𝑥𝑘
168, 15nffv 6339 . . . . . . 7 𝑥(𝐹𝑘)
1716nfdm 5505 . . . . . 6 𝑥dom (𝐹𝑘)
1814, 17nfiin 4681 . . . . 5 𝑥 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
196, 18nfiun 4680 . . . 4 𝑥 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
20 nfcv 2912 . . . . 5 𝑖 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚)
21 nfcv 2912 . . . . 5 𝑛 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
22 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑖 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑖))
2322iineq1d 39782 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚))
24 nfcv 2912 . . . . . . . . 9 𝑘(𝐹𝑚)
2524nfdm 5505 . . . . . . . 8 𝑘dom (𝐹𝑚)
26 smfliminf.n . . . . . . . . . 10 𝑚𝐹
27 nfcv 2912 . . . . . . . . . 10 𝑚𝑘
2826, 27nffv 6339 . . . . . . . . 9 𝑚(𝐹𝑘)
2928nfdm 5505 . . . . . . . 8 𝑚dom (𝐹𝑘)
30 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → (𝐹𝑚) = (𝐹𝑘))
3130dmeqd 5464 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑘 → dom (𝐹𝑚) = dom (𝐹𝑘))
3225, 29, 31cbviin 4690 . . . . . . 7 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚) = 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
3332a1i 11 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑖 𝑚 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑚) = 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘))
3423, 33eqtrd 2804 . . . . 5 (𝑛 = 𝑖 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘))
3520, 21, 34cbviun 4689 . . . 4 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) = 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
3613, 19, 35rabeqif 3340 . . 3 {𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑥 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
37 nfcv 2912 . . . 4 𝑦 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘)
38 nfv 1994 . . . 4 𝑦(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ
39 nfcv 2912 . . . . . 6 𝑥lim inf
40 nfcv 2912 . . . . . . . 8 𝑥𝑦
4116, 40nffv 6339 . . . . . . 7 𝑥((𝐹𝑘)‘𝑦)
426, 41nfmpt 4878 . . . . . 6 𝑥(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))
4339, 42nffv 6339 . . . . 5 𝑥(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦)))
44 nfcv 2912 . . . . 5 𝑥
4543, 44nfel 2925 . . . 4 𝑥(lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ
46 nfv 1994 . . . . . . . 8 𝑚 𝑥 = 𝑦
47 fveq2 6332 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
4847adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑦𝑚𝑍) → ((𝐹𝑚)‘𝑥) = ((𝐹𝑚)‘𝑦))
4946, 48mpteq2da 4875 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)))
50 nfcv 2912 . . . . . . . . 9 𝑘((𝐹𝑚)‘𝑦)
51 nfcv 2912 . . . . . . . . . 10 𝑚𝑦
5228, 51nffv 6339 . . . . . . . . 9 𝑚((𝐹𝑘)‘𝑦)
5330fveq1d 6334 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑘 → ((𝐹𝑚)‘𝑦) = ((𝐹𝑘)‘𝑦))
5450, 52, 53cbvmpt 4881 . . . . . . . 8 (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))
5554a1i 11 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑦)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦)))
5649, 55eqtrd 2804 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)) = (𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦)))
5756fveq2d 6336 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) = (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))))
5857eleq1d 2834 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ ↔ (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ))
5919, 37, 38, 45, 58cbvrab 3347 . . 3 {𝑥 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ} = {𝑦 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ}
605, 36, 593eqtri 2796 . 2 𝐷 = {𝑦 𝑖𝑍 𝑘 ∈ (ℤ𝑖)dom (𝐹𝑘) ∣ (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))) ∈ ℝ}
61 smfliminf.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))))
62 nfrab1 3270 . . . . 5 𝑥{𝑥 𝑛𝑍 𝑚 ∈ (ℤ𝑛)dom (𝐹𝑚) ∣ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥))) ∈ ℝ}
635, 62nfcxfr 2910 . . . 4 𝑥𝐷
64 nfcv 2912 . . . 4 𝑦𝐷
65 nfcv 2912 . . . 4 𝑦(lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))
6663, 64, 65, 43, 57cbvmptf 4880 . . 3 (𝑥𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑚𝑍 ↦ ((𝐹𝑚)‘𝑥)))) = (𝑦𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))))
6761, 66eqtri 2792 . 2 𝐺 = (𝑦𝐷 ↦ (lim inf‘(𝑘𝑍 ↦ ((𝐹𝑘)‘𝑦))))
681, 2, 3, 4, 60, 67smfliminflem 41550 1 (𝜑𝐺 ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1630  wcel 2144  wnfc 2899  {crab 3064   ciun 4652   ciin 4653  cmpt 4861  dom cdm 5249  wf 6027  cfv 6031  cr 10136  cz 11578  cuz 11887  lim infclsi 40495  SAlgcsalg 41039  SMblFncsmblfn 41423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cc 9458  ax-ac2 9486  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-omul 7717  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-acn 8967  df-ac 9138  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-ceil 12801  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-s1 13497  df-s2 13801  df-s3 13802  df-s4 13803  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-limsup 14409  df-clim 14426  df-rlim 14427  df-rest 16290  df-topgen 16311  df-top 20918  df-bases 20970  df-liminf 40496  df-salg 41040  df-salgen 41044  df-smblfn 41424
This theorem is referenced by:  smfliminfmpt  41552
  Copyright terms: Public domain W3C validator