Theorem smfid 41475

Description: The identity function is Borel sigma-measurable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfid.j	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfid.b	⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
smfid	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem smfid

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfid.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
2	1	adantr 466	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		simpr 471	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
4	2, 3	sseldd 3751	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
5		eqid 2770	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)
6	4, 5	fmptd 6527	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥):𝐴⟶ℝ)
7		simpr 471	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → 𝑦 ≤ 𝑧)
8	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥))
9		simpr 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
10		simpr 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
11	8, 9, 10, 10	fvmptd 6430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
12	11	ad2antrr 697	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) = 𝑦)
13	5	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥))
14		simpr 471	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑥 = 𝑧) → 𝑥 = 𝑧)
15		simpr 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
16	13, 14, 15, 15	fvmptd 6430	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
17	16	ad4ant13 1205	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧) = 𝑧)
18	12, 17	breq12d 4797	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧) ↔ 𝑦 ≤ 𝑧))
19	7, 18	mpbird 247	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ≤ 𝑧) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧))
20	19	ex 397	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧)))
21	20	ralrimiva 3114	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧)))
22	21	ralrimiva 3114	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐴 (𝑦 ≤ 𝑧 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑦) ≤ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥)‘𝑧)))
23		smfid.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
24		smfid.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
25	1, 6, 22, 23, 24	incsmf 41465	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑥) ∈ (SMblFn‘𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∀wral 3060   ⊆ wss 3721   class class class wbr 4784   ↦ cmpt 4861  ran crn 5250  ‘cfv 6031  ℝcr 10136   ≤ cle 10276  (,)cioo 12379  topGenctg 16305  SalGencsalgen 41043  SMblFncsmblfn 41423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-iin 4655  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-card 8964  df-acn 8967  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-fl 12800  df-rest 16290  df-topgen 16311  df-top 20918  df-bases 20970  df-salg 41040  df-salgen 41044  df-smblfn 41424

This theorem is referenced by:  smf2id  41522