Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smffmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smffmpt 41525
Description: A function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smffmpt.x 𝑥𝜑
smffmpt.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smffmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
smffmpt.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
smffmpt (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem smffmpt
StepHypRef Expression
1 smffmpt.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
2 smffmpt.m . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
3 eqid 2770 . . 3 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
41, 2, 3smff 41455 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℝ)
5 smffmpt.x . . . . 5 𝑥𝜑
6 eqid 2770 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
7 smffmpt.b . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
85, 6, 7dmmptdf 39929 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
98eqcomd 2776 . . 3 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
109feq2d 6171 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ ↔ (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℝ))
114, 10mpbird 247 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wnf 1855  wcel 2144  cmpt 4861  dom cdm 5249  wf 6027  cfv 6031  cr 10136  SAlgcsalg 41039  SMblFncsmblfn 41423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-er 7895  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-smblfn 41424
This theorem is referenced by:  smfsupmpt  41535  smfinfmpt  41539
  Copyright terms: Public domain W3C validator