Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smff 41455
Description: A function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smff.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smff.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smff.d 𝐷 = dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
smff (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)

Proof of Theorem smff
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smff.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2 smff.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 smff.d . . . 4 𝐷 = dom 𝐹
42, 3issmf 41451 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))))
51, 4mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷)))
65simp2d 1136 1 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  {crab 3064  wss 3721   cuni 4572   class class class wbr 4784  dom cdm 5249  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  cr 10136   < clt 10275  t crest 16288  SAlgcsalg 41039  SMblFncsmblfn 41423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-er 7895  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-smblfn 41424
This theorem is referenced by:  sssmf  41461  smfsssmf  41466  issmfle  41468  issmfgt  41479  issmfge  41492  smflimlem2  41494  smflimlem3  41495  smflimlem4  41496  smflim  41499  smfpimgtxr  41502  smfpimioompt  41507  smfpimioo  41508  smfresal  41509  smfres  41511  smfco  41523  smffmpt  41525  smfsuplem1  41531  smfsuplem3  41533  smfsupxr  41536  smfinflem  41537  smflimsuplem2  41541  smflimsuplem3  41542  smflimsuplem4  41543  smflimsuplem5  41544  smfliminflem  41550
  Copyright terms: Public domain W3C validator