Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfdmss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfdmss 41466
 Description: The domain of a function measurable w.r.t. to a sigma-algebra, is a subset of the set underlying the sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfdmss.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfdmss.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfdmss.d 𝐷 = dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
smfdmss (𝜑𝐷 𝑆)

Proof of Theorem smfdmss
Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfdmss.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
2 smfdmss.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 smfdmss.d . . . 4 𝐷 = dom 𝐹
42, 3issmf 41461 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆) ↔ (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷))))
51, 4mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝐷 𝑆𝐹:𝐷⟶ℝ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t 𝐷)))
65simp1d 1137 1 (𝜑𝐷 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  {crab 3054   ⊆ wss 3715  ∪ cuni 4588   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℝcr 10147   < clt 10286   ↾t crest 16303  SAlgcsalg 41049  SMblFncsmblfn 41433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-er 7913  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-ioo 12392  df-ico 12394  df-smblfn 41434 This theorem is referenced by:  sssmf  41471  smfsssmf  41476  issmfle  41478  issmfgt  41489  smfadd  41497  issmfge  41502  smflim  41509  smfpimgtxr  41512  smfpimioo  41518  smfresal  41519  smfrec  41520  smfres  41521  smfmul  41526  smfmulc1  41527  smfco  41533  smfsuplem3  41543
 Copyright terms: Public domain W3C validator