Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfco 41533
Description: The composition of a Borel sigma-measurable function with a sigma-measurable function, is sigma-measurable. Proposition 121E (g) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfco.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfco.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfco.j 𝐽 = (topGen‘ran (,))
smfco.b 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
smfco.h (𝜑𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))
Assertion
Ref Expression
smfco (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ (SMblFn‘𝑆))

Proof of Theorem smfco
Dummy variables 𝑒 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1992 . 2 𝑎𝜑
2 smfco.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
3 cnvimass 5643 . . . 4 (𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹)
5 smfco.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
6 eqid 2760 . . . 4 dom 𝐹 = dom 𝐹
72, 5, 6smfdmss 41466 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 𝑆)
84, 7sstrd 3754 . 2 (𝜑 → (𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ 𝑆)
9 smfco.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (topGen‘ran (,))
10 retop 22786 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
119, 10eqeltri 2835 . . . . . . . 8 𝐽 ∈ Top
1211a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
13 smfco.b . . . . . . 7 𝐵 = (SalGen‘𝐽)
1412, 13salgencld 41088 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ SAlg)
15 smfco.h . . . . . 6 (𝜑𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))
16 eqid 2760 . . . . . 6 dom 𝐻 = dom 𝐻
1714, 15, 16smff 41465 . . . . 5 (𝜑𝐻:dom 𝐻⟶ℝ)
1817ffund 6210 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐻)
192, 5, 6smff 41465 . . . . 5 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℝ)
2019ffund 6210 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
2118, 20fco3 39938 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝐹):(𝐹 “ dom 𝐻)⟶ran 𝐻)
2217frnd 39943 . . 3 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ ℝ)
2321, 22fssd 6218 . 2 (𝜑 → (𝐻𝐹):(𝐹 “ dom 𝐻)⟶ℝ)
2423adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐻𝐹):(𝐹 “ dom 𝐻)⟶ℝ)
25 rexr 10297 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℝ*)
2625adantl 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ*)
2724, 26preimaioomnf 41453 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐻𝐹) “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ (𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻𝐹)‘𝑥) < 𝑎})
2827eqcomd 2766 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻𝐹)‘𝑥) < 𝑎} = ((𝐻𝐹) “ (-∞(,)𝑎)))
29 cnvco 5463 . . . . . 6 (𝐻𝐹) = (𝐹𝐻)
3029imaeq1i 5621 . . . . 5 ((𝐻𝐹) “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹𝐻) “ (-∞(,)𝑎))
3130a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐻𝐹) “ (-∞(,)𝑎)) = ((𝐹𝐻) “ (-∞(,)𝑎)))
32 imaco 5801 . . . . 5 ((𝐹𝐻) “ (-∞(,)𝑎)) = (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)))
3332a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐹𝐻) “ (-∞(,)𝑎)) = (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))))
3428, 31, 333eqtrd 2798 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻𝐹)‘𝑥) < 𝑎} = (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))))
3517adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐻:dom 𝐻⟶ℝ)
3635, 26preimaioomnf 41453 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻𝑥) < 𝑎})
3736eqcomd 2766 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻𝑥) < 𝑎} = (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)))
3837eqcomd 2766 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻𝑥) < 𝑎})
3914adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ SAlg)
4015adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐻 ∈ (SMblFn‘𝐵))
41 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
4239, 40, 16, 41smfpreimalt 41464 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ dom 𝐻 ∣ (𝐻𝑥) < 𝑎} ∈ (𝐵t dom 𝐻))
4338, 42eqeltrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵t dom 𝐻))
4414elexd 3354 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ V)
4515dmexd 39939 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐻 ∈ V)
46 elrest 16310 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ V ∧ dom 𝐻 ∈ V) → ((𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒𝐵 (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
4744, 45, 46syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒𝐵 (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
4847adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ((𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) ∈ (𝐵t dom 𝐻) ↔ ∃𝑒𝐵 (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
4943, 48mpbid 222 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → ∃𝑒𝐵 (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻))
50 imaeq2 5620 . . . . . . . . 9 ((𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) = (𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
51503ad2ant3 1130 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒𝐵 ∧ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) = (𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)))
52 ovexd 6844 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → (𝑆t dom 𝐹) ∈ V)
535elexd 3354 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ V)
54 cnvexg 7278 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ V → 𝐹 ∈ V)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ V)
56 imaexg 7269 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ V → (𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
5857adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → (𝐹 “ dom 𝐻) ∈ V)
592adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐵) → 𝑆 ∈ SAlg)
605adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐵) → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
61 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑒𝐵) → 𝑒𝐵)
62 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹𝑒) = (𝐹𝑒)
6359, 60, 6, 9, 13, 61, 62smfpimbor1 41531 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t dom 𝐹))
64 eqid 2760 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝑒) ∩ (𝐹 “ dom 𝐻)) = ((𝐹𝑒) ∩ (𝐹 “ dom 𝐻))
6552, 58, 63, 64elrestd 39808 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒𝐵) → ((𝐹𝑒) ∩ (𝐹 “ dom 𝐻)) ∈ ((𝑆t dom 𝐹) ↾t (𝐹 “ dom 𝐻)))
66 inpreima 6506 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((𝐹𝑒) ∩ (𝐹 “ dom 𝐻)))
6720, 66syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((𝐹𝑒) ∩ (𝐹 “ dom 𝐻)))
6867adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → (𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) = ((𝐹𝑒) ∩ (𝐹 “ dom 𝐻)))
695dmexd 39939 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ V)
70 restabs 21191 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ SAlg ∧ (𝐹 “ dom 𝐻) ⊆ dom 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → ((𝑆t dom 𝐹) ↾t (𝐹 “ dom 𝐻)) = (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))
712, 4, 69, 70syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆t dom 𝐹) ↾t (𝐹 “ dom 𝐻)) = (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))
7271eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)) = ((𝑆t dom 𝐹) ↾t (𝐹 “ dom 𝐻)))
7372adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑒𝐵) → (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)) = ((𝑆t dom 𝐹) ↾t (𝐹 “ dom 𝐻)))
7468, 73eleq12d 2833 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑒𝐵) → ((𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)) ↔ ((𝐹𝑒) ∩ (𝐹 “ dom 𝐻)) ∈ ((𝑆t dom 𝐹) ↾t (𝐹 “ dom 𝐻))))
7565, 74mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑒𝐵) → (𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))
76753adant3 1127 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒𝐵 ∧ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (𝐹 “ (𝑒 ∩ dom 𝐻)) ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))
7751, 76eqeltrd 2839 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒𝐵 ∧ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻)) → (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))
78773exp 1113 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑒𝐵 → ((𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))))
7978adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑒𝐵 → ((𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))))
8079rexlimdv 3168 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (∃𝑒𝐵 (𝐻 “ (-∞(,)𝑎)) = (𝑒 ∩ dom 𝐻) → (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻))))
8149, 80mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (𝐻 “ (-∞(,)𝑎))) ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))
8234, 81eqeltrd 2839 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐹 “ dom 𝐻) ∣ ((𝐻𝐹)‘𝑥) < 𝑎} ∈ (𝑆t (𝐹 “ dom 𝐻)))
831, 2, 8, 23, 82issmfd 41468 1 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  {crab 3054  Vcvv 3340  cin 3714  wss 3715   cuni 4588   class class class wbr 4804  ccnv 5265  dom cdm 5266  ran crn 5267  cima 5269  ccom 5270  Fun wfun 6043  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  -∞cmnf 10284  *cxr 10285   < clt 10286  (,)cioo 12388  t crest 16303  topGenctg 16320  Topctop 20920  SAlgcsalg 41049  SalGencsalgen 41053  SMblFncsmblfn 41433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-ac2 9497  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-ac 9149  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-ioo 12392  df-ico 12394  df-fl 12807  df-rest 16305  df-topgen 16326  df-top 20921  df-bases 20972  df-salg 41050  df-salgen 41054  df-smblfn 41434
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator