Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfadd Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The sum of two sigma-measurable functions is measurable. Proposition 121E (b) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfadd.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
smfadd.d ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
smfadd.m (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfadd.n (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Assertion
Ref Expression
smfadd (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑉(𝑥)

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
2 nfv 1994 . 2 𝑎𝜑
3 smfadd.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
4 elinel1 3948 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐴)
54adantl 467 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐴)
61, 5ssdf 39762 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝐴)
7 eqid 2770 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
8 smfadd.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
91, 7, 8dmmptdf 39929 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
109eqcomd 2776 . . . 4 (𝜑𝐴 = dom (𝑥𝐴𝐵))
11 smfadd.m . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
12 eqid 2770 . . . . 5 dom (𝑥𝐴𝐵) = dom (𝑥𝐴𝐵)
133, 11, 12smfdmss 41456 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
1410, 13eqsstrd 3786 . . 3 (𝜑𝐴 𝑆)
156, 14sstrd 3760 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐶) ⊆ 𝑆)
165, 8syldan 571 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
17 elinel2 3949 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑥𝐶)
1817adantl 467 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝑥𝐶)
19 smfadd.d . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
2018, 19syldan 571 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐷 ∈ ℝ)
2116, 20readdcld 10270 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
22 eqid 2770 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷))
231, 21, 22fmptdf 6529 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)):(𝐴𝐶)⟶ℝ)
2423mptex2 6526 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴𝐶)) → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
25 nfv 1994 . . . 4 𝑥 𝑎 ∈ ℝ
261, 25nfan 1979 . . 3 𝑥(𝜑𝑎 ∈ ℝ)
273adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
28 smfadd.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
2928adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝐴𝑉)
308adantlr 686 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
3119adantlr 686 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐷 ∈ ℝ)
3211adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴𝐵) ∈ (SMblFn‘𝑆))
33 smfadd.n . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
3433adantr 466 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → (𝑥𝐶𝐷) ∈ (SMblFn‘𝑆))
35 simpr 471 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
36 oveq2 6800 . . . . . 6 (𝑟 = 𝑞 → (𝑝 + 𝑟) = (𝑝 + 𝑞))
3736breq1d 4794 . . . . 5 (𝑟 = 𝑞 → ((𝑝 + 𝑟) < 𝑎 ↔ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎))
3837cbvrabv 3348 . . . 4 {𝑟 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑟) < 𝑎} = {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎}
3938mpteq2i 4873 . . 3 (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑟 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑟) < 𝑎}) = (𝑝 ∈ ℚ ↦ {𝑞 ∈ ℚ ∣ (𝑝 + 𝑞) < 𝑎})
4026, 27, 29, 30, 31, 32, 34, 35, 39smfaddlem2 41486 . 2 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ∣ (𝐵 + 𝐷) < 𝑎} ∈ (𝑆t (𝐴𝐶)))
411, 2, 3, 15, 24, 40issmfdmpt 41471 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐶) ↦ (𝐵 + 𝐷)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630  Ⅎwnf 1855   ∈ wcel 2144  {crab 3064   ∩ cin 3720  ∪ cuni 4572   class class class wbr 4784   ↦ cmpt 4861  dom cdm 5249  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ℝcr 10136   + caddc 10140   < clt 10275  ℚcq 11990  SAlgcsalg 41039  SMblFncsmblfn 41423 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cc 9458  ax-ac2 9486  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-omul 7717  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-acn 8967  df-ac 9138  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-ioo 12383  df-ico 12385  df-rest 16290  df-salg 41040  df-smblfn 41424 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator