Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smatbr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smatbr 30224
Description: Entries of a submatrix, bottom right. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
smat.s 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
smat.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
smat.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝑚 ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smatbr.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
smatbr.j (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
Assertion
Ref Expression
smatbr (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴(𝐽 + 1)))

Proof of Theorem smatbr
StepHypRef Expression
1 smat.s . 2 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2 smat.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 smat.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 smat.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
5 smat.l . 2 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
6 smat.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝑚 ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7 fz1ssnn 12601 . . . . 5 (1...𝑀) ⊆ ℕ
87, 4sseldi 3756 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
9 fzssnn 12614 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
11 smatbr.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
1210, 11sseldd 3759 . 2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
13 fz1ssnn 12601 . . . . 5 (1...𝑁) ⊆ ℕ
1413, 5sseldi 3756 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ)
15 fzssnn 12614 . . . 4 (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
1614, 15syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
17 smatbr.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
1816, 17sseldd 3759 . 2 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
19 elfzle1 12573 . . . . 5 (𝐼 ∈ (𝐾...𝑀) → 𝐾𝐼)
2011, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾𝐼)
218nnred 11258 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
2212nnred 11258 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
2321, 22lenltd 10406 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < 𝐾))
2420, 23mpbid 223 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐼 < 𝐾)
2524iffalsed 4246 . 2 (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = (𝐼 + 1))
26 elfzle1 12573 . . . . 5 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑁) → 𝐿𝐽)
2717, 26syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿𝐽)
2814nnred 11258 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
2918nnred 11258 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
3028, 29lenltd 10406 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < 𝐿))
3127, 30mpbid 223 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐽 < 𝐿)
3231iffalsed 4246 . 2 (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = (𝐽 + 1))
331, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 18, 25, 32smatlem 30220 1 (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴(𝐽 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1634  wcel 2148  wss 3729   class class class wbr 4797   × cxp 5261  cfv 6042  (class class class)co 6812  𝑚 cmap 8030  1c1 10160   + caddc 10162   < clt 10297  cle 10298  cn 11243  ...cfz 12555  subMat1csmat 30216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-er 7917  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-nn 11244  df-z 11602  df-uz 11911  df-fz 12556  df-smat 30217
This theorem is referenced by:  submateq  30232
  Copyright terms: Public domain W3C validator