Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smatbr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smatbr 29995
Description: Entries of a submatrix, bottom right. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
smat.s 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
smat.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
smat.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝑚 ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smatbr.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
smatbr.j (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
Assertion
Ref Expression
smatbr (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴(𝐽 + 1)))

Proof of Theorem smatbr
StepHypRef Expression
1 smat.s . 2 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2 smat.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 smat.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 smat.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
5 smat.l . 2 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
6 smat.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵𝑚 ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7 fz1ssnn 12410 . . . . 5 (1...𝑀) ⊆ ℕ
87, 4sseldi 3634 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
9 fzssnn 12423 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
11 smatbr.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
1210, 11sseldd 3637 . 2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
13 fz1ssnn 12410 . . . . 5 (1...𝑁) ⊆ ℕ
1413, 5sseldi 3634 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ)
15 fzssnn 12423 . . . 4 (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
1614, 15syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
17 smatbr.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
1816, 17sseldd 3637 . 2 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
19 elfzle1 12382 . . . . 5 (𝐼 ∈ (𝐾...𝑀) → 𝐾𝐼)
2011, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾𝐼)
218nnred 11073 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
2212nnred 11073 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
2321, 22lenltd 10221 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < 𝐾))
2420, 23mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐼 < 𝐾)
2524iffalsed 4130 . 2 (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = (𝐼 + 1))
26 elfzle1 12382 . . . . 5 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑁) → 𝐿𝐽)
2717, 26syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿𝐽)
2814nnred 11073 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
2918nnred 11073 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
3028, 29lenltd 10221 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < 𝐿))
3127, 30mpbid 222 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐽 < 𝐿)
3231iffalsed 4130 . 2 (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = (𝐽 + 1))
331, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 18, 25, 32smatlem 29991 1 (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴(𝐽 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607   class class class wbr 4685   × cxp 5141  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  ...cfz 12364  subMat1csmat 29987
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-smat 29988
This theorem is referenced by:  submateq  30003
  Copyright terms: Public domain W3C validator