Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  slttrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slttrd 32221
Description: Surreal less than is transitive. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
slttrd.1 (𝜑𝐴 No )
slttrd.2 (𝜑𝐵 No )
slttrd.3 (𝜑𝐶 No )
slttrd.4 (𝜑𝐴 <s 𝐵)
slttrd.5 (𝜑𝐵 <s 𝐶)
Assertion
Ref Expression
slttrd (𝜑𝐴 <s 𝐶)

Proof of Theorem slttrd
StepHypRef Expression
1 slttrd.4 . 2 (𝜑𝐴 <s 𝐵)
2 slttrd.5 . 2 (𝜑𝐵 <s 𝐶)
3 slttrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 No )
4 slttrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 No )
5 slttrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 No )
6 slttr 32209 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 <s 𝐵𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → ((𝐴 <s 𝐵𝐵 <s 𝐶) → 𝐴 <s 𝐶))
81, 2, 7mp2and 679 1 (𝜑𝐴 <s 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 2145   class class class wbr 4787   No csur 32130   <s cslt 32131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-ord 5868  df-on 5869  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-fv 6038  df-1o 7717  df-2o 7718  df-no 32133  df-slt 32134
This theorem is referenced by:  conway  32247  sslttr  32251  slerec  32260
  Copyright terms: Public domain W3C validator