Theorem sltso 32133

Description: Surreal less than totally orders the surreals. Alling's axiom (O). (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
sltso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem sltso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltsolem1 32132	. 2 ⊢ {⟨1𝑜, ∅⟩, ⟨1𝑜, 2𝑜⟩, ⟨∅, 2𝑜⟩} Or ({1𝑜, 2𝑜} ∪ {∅})
2		df-no 32102	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}}
3		df-slt 32103	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1𝑜, ∅⟩, ⟨1𝑜, 2𝑜⟩, ⟨∅, 2𝑜⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 32117	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1𝑜, 2𝑜}
5	1, 2, 3, 4	soseq 32060	1 ⊢ <s Or No

Syntax hints:  ∅c0 4058  {cpr 4323  {ctp 4325  ⟨cop 4327   Or wor 5186  1_𝑜c1o 7722  2_𝑜c2o 7723   No csur 32099   <s cslt 32100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-1o 7729  df-2o 7730  df-no 32102  df-slt 32103

This theorem is referenced by:  nosepne  32137  nosepdm  32140  nodenselem4  32143  nodenselem5  32144  nodenselem7  32146  nolt02o  32151  noresle  32152  nomaxmo  32153  noprefixmo  32154  nosupbnd1lem1  32160  nosupbnd1lem2  32161  nosupbnd1lem4  32163  nosupbnd1lem6  32165  nosupbnd1  32166  nosupbnd2lem1  32167  nosupbnd2  32168  noetalem3  32171  sltirr  32177  slttr  32178  sltasym  32179  sltlin  32180  slttrieq2  32181  slttrine  32182  sleloe  32185  sltletr  32187  slelttr  32188