MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  slotsbhcdif Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem slotsbhcdif 16287
Description: The slots Base, Hom and comp are different. (Contributed by AV, 5-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
slotsbhcdif ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))

Proof of Theorem slotsbhcdif
StepHypRef Expression
1 df-base 16069 . . . 4 Base = Slot 1
2 1nn 11232 . . . 4 1 ∈ ℕ
31, 2ndxarg 16088 . . 3 (Base‘ndx) = 1
4 1re 10240 . . . . 5 1 ∈ ℝ
5 4nn0 11512 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
6 1nn0 11509 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
7 1lt10 11881 . . . . . 6 1 < 10
82, 5, 6, 7declti 11747 . . . . 5 1 < 14
94, 8ltneii 10351 . . . 4 1 ≠ 14
10 homndx 16281 . . . 4 (Hom ‘ndx) = 14
119, 10neeqtrri 3015 . . 3 1 ≠ (Hom ‘ndx)
123, 11eqnetri 3012 . 2 (Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
13 5nn0 11513 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
142, 13, 6, 7declti 11747 . . . . 5 1 < 15
154, 14ltneii 10351 . . . 4 1 ≠ 15
16 ccondx 16283 . . . 4 (comp‘ndx) = 15
1715, 16neeqtrri 3015 . . 3 1 ≠ (comp‘ndx)
183, 17eqnetri 3012 . 2 (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
196, 5deccl 11713 . . . . . 6 14 ∈ ℕ0
2019nn0rei 11504 . . . . 5 14 ∈ ℝ
21 5nn 11389 . . . . . 6 5 ∈ ℕ
22 4lt5 11401 . . . . . 6 4 < 5
236, 5, 21, 22declt 11731 . . . . 5 14 < 15
2420, 23ltneii 10351 . . . 4 14 ≠ 15
2524, 16neeqtrri 3015 . . 3 14 ≠ (comp‘ndx)
2610, 25eqnetri 3012 . 2 (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
2712, 18, 263pm3.2i 1422 1 ((Base‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (Hom ‘ndx) ≠ (comp‘ndx))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  w3a 1070  wne 2942  cfv 6031  1c1 10138  4c4 11273  5c5 11274  cdc 11694  ndxcnx 16060  Basecbs 16063  Hom chom 16159  compcco 16160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-hom 16173  df-cco 16174
This theorem is referenced by:  estrreslem1  16983  estrresOLD  16985  estrres  16986
  Copyright terms: Public domain W3C validator