Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sletr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sletr 32211
Description: Surreal transitive law. (Contributed by Scott Fenton, 8-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
sletr ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵𝐵 ≤s 𝐶) → 𝐴 ≤s 𝐶))

Proof of Theorem sletr
StepHypRef Expression
1 sltletr 32209 . . . . . . 7 ((𝐶 No 𝐴 No 𝐵 No ) → ((𝐶 <s 𝐴𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐶 <s 𝐵))
213coml 1122 . . . . . 6 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐶 <s 𝐴𝐴 ≤s 𝐵) → 𝐶 <s 𝐵))
32expcomd 453 . . . . 5 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 → (𝐶 <s 𝐴𝐶 <s 𝐵)))
43imp 444 . . . 4 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → (𝐶 <s 𝐴𝐶 <s 𝐵))
54con3d 148 . . 3 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) ∧ 𝐴 ≤s 𝐵) → (¬ 𝐶 <s 𝐵 → ¬ 𝐶 <s 𝐴))
65expimpd 630 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 <s 𝐵) → ¬ 𝐶 <s 𝐴))
7 slenlt 32205 . . . 4 ((𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐵 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐵))
873adant1 1125 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐵 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐵))
98anbi2d 742 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵𝐵 ≤s 𝐶) ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ ¬ 𝐶 <s 𝐵)))
10 slenlt 32205 . . 3 ((𝐴 No 𝐶 No ) → (𝐴 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐴))
11103adant2 1126 . 2 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → (𝐴 ≤s 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 <s 𝐴))
126, 9, 113imtr4d 283 1 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐶 No ) → ((𝐴 ≤s 𝐵𝐵 ≤s 𝐶) → 𝐴 ≤s 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2140   class class class wbr 4805   No csur 32121   <s cslt 32122   ≤s csle 32197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-ord 5888  df-on 5889  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-fv 6058  df-1o 7731  df-2o 7732  df-no 32124  df-slt 32125  df-sle 32198
This theorem is referenced by:  sletrd  32215
  Copyright terms: Public domain W3C validator