MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sizusglecusg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sizusglecusg 26593
Description: The size of a simple graph with 𝑛 vertices is at most the size of a complete simple graph with 𝑛 vertices (𝑛 may be infinite). (Contributed by Alexander van der Vekens, 13-Jan-2018.) (Revised by AV, 13-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fusgrmaxsize.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
fusgrmaxsize.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
usgrsscusgra.h 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
usgrsscusgra.f 𝐹 = (Edg‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
sizusglecusg ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))

Proof of Theorem sizusglecusg
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fusgrmaxsize.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2 fvex 6342 . . . . . . . . 9 (Edg‘𝐺) ∈ V
31, 2eqeltri 2845 . . . . . . . 8 𝐸 ∈ V
4 resiexg 7248 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ V → ( I ↾ 𝐸) ∈ V)
53, 4mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ( I ↾ 𝐸) ∈ V)
6 fusgrmaxsize.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 usgrsscusgra.h . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐻)
8 usgrsscusgra.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Edg‘𝐻)
96, 1, 7, 8sizusglecusglem1 26591 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ( I ↾ 𝐸):𝐸1-1𝐹)
10 f1eq1 6236 . . . . . . . 8 (𝑓 = ( I ↾ 𝐸) → (𝑓:𝐸1-1𝐹 ↔ ( I ↾ 𝐸):𝐸1-1𝐹))
1110spcegv 3443 . . . . . . 7 (( I ↾ 𝐸) ∈ V → (( I ↾ 𝐸):𝐸1-1𝐹 → ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹))
125, 9, 11sylc 65 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹)
1312adantl 467 . . . . 5 (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹)
14 hashdom 13369 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 𝐸𝐹))
1514adantr 466 . . . . . 6 (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ 𝐸𝐹))
16 brdomg 8118 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Fin → (𝐸𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹))
1716adantl 467 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (𝐸𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹))
1817adantr 466 . . . . . 6 (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → (𝐸𝐹 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹))
1915, 18bitrd 268 . . . . 5 (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → ((♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹) ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐸1-1𝐹))
2013, 19mpbird 247 . . . 4 (((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝐹 ∈ Fin) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph)) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
2120exp31 406 . . 3 (𝐸 ∈ Fin → (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
226, 1, 7, 8sizusglecusglem2 26592 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐹 ∈ Fin) → 𝐸 ∈ Fin)
2322pm2.24d 148 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝐹 ∈ Fin) → (¬ 𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
24233expia 1113 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (𝐹 ∈ Fin → (¬ 𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
2524com13 88 . . 3 𝐸 ∈ Fin → (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))))
2621, 25pm2.61i 176 . 2 (𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
27 fvex 6342 . . . . 5 (Edg‘𝐻) ∈ V
288, 27eqeltri 2845 . . . 4 𝐹 ∈ V
29 nfile 13351 . . . 4 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ ¬ 𝐹 ∈ Fin) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
303, 28, 29mp3an12 1561 . . 3 𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
3130a1d 25 . 2 𝐹 ∈ Fin → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹)))
3226, 31pm2.61i 176 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐻 ∈ ComplUSGraph) → (♯‘𝐸) ≤ (♯‘𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2144  Vcvv 3349   class class class wbr 4784   I cid 5156  cres 5251  1-1wf1 6028  cfv 6031  cdom 8106  Fincfn 8108  cle 10276  chash 13320  Vtxcvtx 26094  Edgcedg 26159  USGraphcusgr 26265  ComplUSGraphccusgr 26539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-hash 13321  df-vtx 26096  df-iedg 26097  df-edg 26160  df-uhgr 26173  df-upgr 26197  df-umgr 26198  df-uspgr 26266  df-usgr 26267  df-fusgr 26431  df-nbgr 26447  df-uvtx 26510  df-cplgr 26540  df-cusgr 26541
This theorem is referenced by:  fusgrmaxsize  26594
  Copyright terms: Public domain W3C validator