Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgclg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitgclg 30532
 Description: Closure of the Bochner integral on simple functions, generic version. See sitgclbn 30533 for the version for Banach spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.) (Proof shortened by AV, 12-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sibfmbl.1 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgclg.g 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
sitgclg.d 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
sitgclg.1 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
sitgclg.2 (𝜑𝑊 ∈ CMnd)
sitgclg.3 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
sitgclg.4 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sitgclg (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑚   𝑥,𝐹   𝑚,𝐻   𝑥,𝑚,𝑀   𝑆,𝑚   𝑚,𝑊,𝑥   0 ,𝑚,𝑥   · ,𝑚   𝜑,𝑥   𝑥,𝐵   𝑚,𝐹   𝑚,𝐺   𝜑,𝑚
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑚)   𝑆(𝑥)   · (𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑚)   𝑉(𝑥,𝑚)

Proof of Theorem sitgclg
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 sitgval.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3 sitgval.s . . 3 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4 sitgval.0 . . 3 0 = (0g𝑊)
5 sitgval.x . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
6 sitgval.h . . 3 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7 sitgval.1 . . 3 (𝜑𝑊𝑉)
8 sitgval.2 . . 3 (𝜑𝑀 ran measures)
9 sibfmbl.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sitgfval 30531 . 2 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))))
11 sitgclg.2 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ CMnd)
12 rnexg 7140 . . . 4 (𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀) → ran 𝐹 ∈ V)
13 difexg 4841 . . . 4 (ran 𝐹 ∈ V → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V)
149, 12, 133syl 18 . . 3 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V)
15 simpl 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝜑)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sibfima 30528 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → (𝑀‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞))
17 sitgclg.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)))
18 sitgclg.g . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (Scalar‘𝑊)
1918fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . 12 (dist‘𝐺) = (dist‘(Scalar‘𝑊))
2018fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐺) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2120, 20xpeq12i 5171 . . . . . . . . . . . 12 ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺)) = ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2219, 21reseq12i 5426 . . . . . . . . . . 11 ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊))))
2317, 22eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 𝐷 = ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊))))
24 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
25 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2618fveq2i 6232 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘(Scalar‘𝑊))
2718fveq2i 6232 . . . . . . . . . 10 (ℤMod‘𝐺) = (ℤMod‘(Scalar‘𝑊))
28 sitgclg.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
2918, 28syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ ℝExt )
30 rrextdrg 30174 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ DivRing)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ DivRing)
3218, 31syl5eqelr 2735 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
33 rrextnrg 30173 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ NrmRing)
3429, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ NrmRing)
3518, 34syl5eqelr 2735 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ NrmRing)
36 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (ℤMod‘𝐺) = (ℤMod‘𝐺)
3736rrextnlm 30175 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ ℝExt → (ℤMod‘𝐺) ∈ NrmMod)
3829, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℤMod‘𝐺) ∈ NrmMod)
3918fveq2i 6232 . . . . . . . . . . 11 (chr‘𝐺) = (chr‘(Scalar‘𝑊))
40 rrextchr 30176 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → (chr‘𝐺) = 0)
4129, 40syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (chr‘𝐺) = 0)
4239, 41syl5eqr 2699 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (chr‘(Scalar‘𝑊)) = 0)
43 rrextcusp 30177 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → 𝐺 ∈ CUnifSp)
4429, 43syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ CUnifSp)
4518, 44syl5eqelr 2735 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ CUnifSp)
4618fveq2i 6232 . . . . . . . . . . 11 (UnifSt‘𝐺) = (UnifSt‘(Scalar‘𝑊))
47 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4847, 17rrextust 30180 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ℝExt → (UnifSt‘𝐺) = (metUnif‘𝐷))
4929, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (UnifSt‘𝐺) = (metUnif‘𝐷))
5046, 49syl5eqr 2699 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (UnifSt‘(Scalar‘𝑊)) = (metUnif‘𝐷))
5123, 24, 25, 26, 27, 32, 35, 38, 42, 45, 50rrhf 30170 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
526feq1i 6074 . . . . . . . . 9 (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
5351, 52sylibr 224 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
54 ffun 6086 . . . . . . . 8 (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) → Fun 𝐻)
5553, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Fun 𝐻)
56 rge0ssre 12318 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
57 fdm 6089 . . . . . . . . 9 (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) → dom 𝐻 = ℝ)
5853, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom 𝐻 = ℝ)
5956, 58syl5sseqr 3687 . . . . . . 7 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ dom 𝐻)
60 funfvima2 6533 . . . . . . 7 ((Fun 𝐻 ∧ (0[,)+∞) ⊆ dom 𝐻) → ((𝑀‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞) → (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
6155, 59, 60syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐹 “ {𝑥})) ∈ (0[,)+∞) → (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
6215, 16, 61sylc 65 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
63 dmmeas 30392 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ran measures → dom 𝑀 ran sigAlgebra)
648, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom 𝑀 ran sigAlgebra)
65 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . 15 (TopOpen‘𝑊) ∈ V
662, 65eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐽 ∈ V
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ V)
6867sgsiga 30333 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sigaGen‘𝐽) ∈ ran sigAlgebra)
693, 68syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
701, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sibfmbl 30525 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (dom 𝑀MblFnM𝑆))
7164, 69, 70mbfmf 30445 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹: dom 𝑀 𝑆)
72 frn 6091 . . . . . . . . . 10 (𝐹: dom 𝑀 𝑆 → ran 𝐹 𝑆)
7371, 72syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ran 𝐹 𝑆)
743unieqi 4477 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
75 unisg 30334 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ V → (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
7666, 75mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 (sigaGen‘𝐽) = 𝐽)
7774, 76syl5eq 2697 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑆 = 𝐽)
78 sitgclg.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
791, 2tpsuni 20788 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ TopSp → 𝐵 = 𝐽)
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = 𝐽)
8177, 80eqtr4d 2688 . . . . . . . . 9 (𝜑 𝑆 = 𝐵)
8273, 81sseqtrd 3674 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹𝐵)
8382ssdifd 3779 . . . . . . 7 (𝜑 → (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ (𝐵 ∖ { 0 }))
8483sselda 3636 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
8584eldifad 3619 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → 𝑥𝐵)
86 simp2 1082 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
87 eleq1 2718 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → (𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ↔ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))))
88873anbi2d 1444 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) ↔ (𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵)))
89 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → (𝑚 · 𝑥) = ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
9089eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → ((𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵 ↔ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵))
9188, 90imbi12d 333 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) → (((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)))
92 sitgclg.4 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
9391, 92vtoclg 3297 . . . . . 6 ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) → ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵))
9486, 93mpcom 38 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)
9515, 62, 85, 94syl3anc 1366 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 })) → ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥) ∈ 𝐵)
96 eqid 2651 . . . 4 (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
9795, 96fmptd 6425 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)):(ran 𝐹 ∖ { 0 })⟶𝐵)
98 mptexg 6525 . . . . . 6 ((ran 𝐹 ∖ { 0 }) ∈ V → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V)
9914, 98syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V)
100 fvex 6239 . . . . . 6 (0g𝑊) ∈ V
1014, 100eqeltri 2726 . . . . 5 0 ∈ V
102 suppimacnv 7351 . . . . 5 (((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) = ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })))
10399, 101, 102sylancl 695 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) = ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })))
1041, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sibfrn 30527 . . . . 5 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ Fin)
105 cnvimass 5520 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ dom (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))
10696dmmptss 5669 . . . . . . 7 dom (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) ⊆ (ran 𝐹 ∖ { 0 })
107105, 106sstri 3645 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ (ran 𝐹 ∖ { 0 })
108 difss 3770 . . . . . 6 (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ⊆ ran 𝐹
109107, 108sstri 3645 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐹
110 ssfi 8221 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ⊆ ran 𝐹) → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ∈ Fin)
111104, 109, 110sylancl 695 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) “ (V ∖ { 0 })) ∈ Fin)
112103, 111eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥)) supp 0 ) ∈ Fin)
1131, 4, 11, 14, 97, 112gsumcl2 18361 . 2 (𝜑 → (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran 𝐹 ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(𝐹 “ {𝑥}))) · 𝑥))) ∈ 𝐵)
11410, 113eqeltrd 2730 1 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ∪ cuni 4468   ↦ cmpt 4762   × cxp 5141  ◡ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144   ↾ cres 5145   “ cima 5146  Fun wfun 5920  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   supp csupp 7340  Fincfn 7997  ℝcr 9973  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  (,)cioo 12213  [,)cico 12215  Basecbs 15904  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  distcds 15997  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  0gc0g 16147   Σg cgsu 16148  CMndccmn 18239  DivRingcdr 18795  metUnifcmetu 19785  ℤModczlm 19897  chrcchr 19898  TopSpctps 20784  UnifStcuss 22104  CUnifSpccusp 22148  NrmRingcnrg 22431  NrmModcnlm 22432  ℝHomcrrh 30165   ℝExt crrext 30166  sigAlgebracsiga 30298  sigaGencsigagen 30329  measurescmeas 30386  sitgcsitg 30519 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-numer 15490  df-denom 15491  df-gz 15681  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-od 17994  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-lmod 18913  df-nzr 19306  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-metu 19793  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-zlm 19901  df-chr 19902  df-refld 19999  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-reg 21168  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-fcls 21792  df-cnext 21911  df-ust 22051  df-utop 22082  df-uss 22107  df-usp 22108  df-ucn 22127  df-cfilu 22138  df-cusp 22149  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nrg 22437  df-nlm 22438  df-cncf 22728  df-cfil 23099  df-cmet 23101  df-cms 23178  df-qqh 30145  df-rrh 30167  df-rrext 30171  df-esum 30218  df-siga 30299  df-sigagen 30330  df-meas 30387  df-mbfm 30441  df-sitg 30520 This theorem is referenced by:  sitgclbn  30533  sitmcl  30541
 Copyright terms: Public domain W3C validator