Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgclbn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitgclbn 30685
 Description: Closure of the Bochner integral on a simple function. This version is specific to Banach spaces, with additional conditions on its scalar field. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Feb-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sibfmbl.1 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgclbn.1 (𝜑𝑊 ∈ Ban)
sitgclbn.2 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
Assertion
Ref Expression
sitgclbn (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sitgclbn
Dummy variables 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 sitgval.j . 2 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3 sitgval.s . 2 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4 sitgval.0 . 2 0 = (0g𝑊)
5 sitgval.x . 2 · = ( ·𝑠𝑊)
6 sitgval.h . 2 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7 sitgval.1 . 2 (𝜑𝑊𝑉)
8 sitgval.2 . 2 (𝜑𝑀 ran measures)
9 sibfmbl.1 . 2 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
10 eqid 2748 . 2 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11 eqid 2748 . 2 ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊)))) = ((dist‘(Scalar‘𝑊)) ↾ ((Base‘(Scalar‘𝑊)) × (Base‘(Scalar‘𝑊))))
12 sitgclbn.1 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Ban)
13 bncms 23312 . . . 4 (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ CMetSp)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ CMetSp)
15 cmsms 23316 . . 3 (𝑊 ∈ CMetSp → 𝑊 ∈ MetSp)
16 mstps 22432 . . 3 (𝑊 ∈ MetSp → 𝑊 ∈ TopSp)
1714, 15, 163syl 18 . 2 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
18 bnlmod 23311 . . 3 (𝑊 ∈ Ban → 𝑊 ∈ LMod)
19 lmodcmn 19084 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ CMnd)
2012, 18, 193syl 18 . 2 (𝜑𝑊 ∈ CMnd)
21 sitgclbn.2 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
2212, 18syl 17 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
23223ad2ant1 1125 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
24 imassrn 5623 . . . . . 6 (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ ran 𝐻
256rneqi 5495 . . . . . . 7 ran 𝐻 = ran (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
26 eqid 2748 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2726rrhfe 30336 . . . . . . . 8 ((Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
28 frn 6202 . . . . . . . 8 ((ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) → ran (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2921, 27, 283syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3025, 29syl5eqss 3778 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3124, 30syl5ss 3743 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3231sselda 3732 . . . 4 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞))) → 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
33323adant3 1124 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34 simp3 1130 . . 3 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
351, 10, 5, 26lmodvscl 19053 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑚 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
3623, 33, 34, 35syl3anc 1463 . 2 ((𝜑𝑚 ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑚 · 𝑥) ∈ 𝐵)
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 17, 20, 21, 36sitgclg 30684 1 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘𝐹) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ⊆ wss 3703  ∪ cuni 4576   × cxp 5252  dom cdm 5254  ran crn 5255   ↾ cres 5256   “ cima 5257  ⟶wf 6033  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801  ℝcr 10098  0cc0 10099  +∞cpnf 10234  [,)cico 12341  Basecbs 16030  Scalarcsca 16117   ·𝑠 cvsca 16118  distcds 16123  TopOpenctopn 16255  0gc0g 16273  CMndccmn 18364  LModclmod 19036  TopSpctps 20909  MetSpcmt 22295  CMetSpccms 23300  Bancbn 23301  ℝHomcrrh 30317   ℝExt crrext 30318  sigaGencsigagen 30481  measurescmeas 30538  sitgcsitg 30671 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-iin 4663  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-of 7050  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-supp 7452  df-tpos 7509  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8429  df-fi 8470  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-q 11953  df-rp 11997  df-xneg 12110  df-xadd 12111  df-xmul 12112  df-ioo 12343  df-ico 12345  df-icc 12346  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-mod 12834  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-dvds 15154  df-gcd 15390  df-numer 15616  df-denom 15617  df-gz 15807  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-sets 16037  df-ress 16038  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-starv 16129  df-sca 16130  df-vsca 16131  df-ip 16132  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137  df-unif 16138  df-hom 16139  df-cco 16140  df-rest 16256  df-topn 16257  df-0g 16275  df-gsum 16276  df-topgen 16277  df-pt 16278  df-prds 16281  df-xrs 16335  df-qtop 16340  df-imas 16341  df-xps 16343  df-mre 16419  df-mrc 16420  df-acs 16422  df-mgm 17414  df-sgrp 17456  df-mnd 17467  df-mhm 17507  df-submnd 17508  df-grp 17597  df-minusg 17598  df-sbg 17599  df-mulg 17713  df-subg 17763  df-ghm 17830  df-cntz 17921  df-od 18119  df-cmn 18366  df-abl 18367  df-mgp 18661  df-ur 18673  df-ring 18720  df-cring 18721  df-oppr 18794  df-dvdsr 18812  df-unit 18813  df-invr 18843  df-dvr 18854  df-rnghom 18888  df-drng 18922  df-subrg 18951  df-abv 18990  df-lmod 19038  df-nzr 19431  df-psmet 19911  df-xmet 19912  df-met 19913  df-bl 19914  df-mopn 19915  df-fbas 19916  df-fg 19917  df-metu 19918  df-cnfld 19920  df-zring 19992  df-zrh 20025  df-zlm 20026  df-chr 20027  df-refld 20124  df-top 20872  df-topon 20889  df-topsp 20910  df-bases 20923  df-cld 20996  df-ntr 20997  df-cls 20998  df-nei 21075  df-cn 21204  df-cnp 21205  df-haus 21292  df-reg 21293  df-cmp 21363  df-tx 21538  df-hmeo 21731  df-fil 21822  df-fm 21914  df-flim 21915  df-flf 21916  df-fcls 21917  df-cnext 22036  df-ust 22176  df-utop 22207  df-uss 22232  df-usp 22233  df-ucn 22252  df-cfilu 22263  df-cusp 22274  df-xms 22297  df-ms 22298  df-tms 22299  df-nm 22559  df-ngp 22560  df-nrg 22562  df-nlm 22563  df-nvc 22564  df-cncf 22853  df-cfil 23224  df-cmet 23226  df-cms 23303  df-bn 23304  df-qqh 30297  df-rrh 30319  df-rrext 30323  df-esum 30370  df-siga 30451  df-sigagen 30482  df-meas 30539  df-mbfm 30593  df-sitg 30672 This theorem is referenced by:  sitgclcn  30686  sitgclre  30687
 Copyright terms: Public domain W3C validator