Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitgaddlemb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitgaddlemb 30538
Description: Lemma for * sitgadd . (Contributed by Thierry Arnoux, 10-Mar-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sitgadd.1 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
sitgadd.2 (𝜑 → (𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
sitgadd.3 (𝜑𝐽 ∈ Fre)
sitgadd.4 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgadd.5 (𝜑𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
sitgadd.6 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
sitgadd.7 + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
sitgaddlemb ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((𝐻‘(𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)})))) · (2nd𝑝)) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem sitgaddlemb
StepHypRef Expression
1 sitgadd.2 . . 3 (𝜑 → (𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
21adantr 480 . 2 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod)
3 simpl 472 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝜑)
4 sitgadd.6 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt )
5 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
65rrhfe 30184 . . . . . . . 8 ((Scalar‘𝑊) ∈ ℝExt → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
8 sitgval.h . . . . . . . 8 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
98feq1i 6074 . . . . . . 7 (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) ↔ (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)):ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
107, 9sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)))
11 ffn 6083 . . . . . 6 (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) → 𝐻 Fn ℝ)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐻 Fn ℝ)
133, 12syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝐻 Fn ℝ)
14 rge0ssre 12318 . . . . 5 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
1514a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (0[,)+∞) ⊆ ℝ)
16 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩}))
1716eldifad 3619 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → 𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺))
18 xp1st 7242 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (1st𝑝) ∈ ran 𝐹)
1917, 18syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (1st𝑝) ∈ ran 𝐹)
20 xp2nd 7243 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (2nd𝑝) ∈ ran 𝐺)
2117, 20syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (2nd𝑝) ∈ ran 𝐺)
2216eldifbd 3620 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩})
23 velsn 4226 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
2423notbii 309 . . . . . . . 8 𝑝 ∈ {⟨ 0 , 0 ⟩} ↔ ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
2522, 24sylib 208 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
26 eqopi 7246 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) ∧ ((1st𝑝) = 0 ∧ (2nd𝑝) = 0 )) → 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩)
2726ex 449 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (((1st𝑝) = 0 ∧ (2nd𝑝) = 0 ) → 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩))
2827con3d 148 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) → (¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩ → ¬ ((1st𝑝) = 0 ∧ (2nd𝑝) = 0 )))
2928imp 444 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ (ran 𝐹 × ran 𝐺) ∧ ¬ 𝑝 = ⟨ 0 , 0 ⟩) → ¬ ((1st𝑝) = 0 ∧ (2nd𝑝) = 0 ))
3017, 25, 29syl2anc 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ¬ ((1st𝑝) = 0 ∧ (2nd𝑝) = 0 ))
31 ianor 508 . . . . . . 7 (¬ ((1st𝑝) = 0 ∧ (2nd𝑝) = 0 ) ↔ (¬ (1st𝑝) = 0 ∨ ¬ (2nd𝑝) = 0 ))
32 df-ne 2824 . . . . . . . 8 ((1st𝑝) ≠ 0 ↔ ¬ (1st𝑝) = 0 )
33 df-ne 2824 . . . . . . . 8 ((2nd𝑝) ≠ 0 ↔ ¬ (2nd𝑝) = 0 )
3432, 33orbi12i 542 . . . . . . 7 (((1st𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd𝑝) ≠ 0 ) ↔ (¬ (1st𝑝) = 0 ∨ ¬ (2nd𝑝) = 0 ))
3531, 34bitr4i 267 . . . . . 6 (¬ ((1st𝑝) = 0 ∧ (2nd𝑝) = 0 ) ↔ ((1st𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd𝑝) ≠ 0 ))
3630, 35sylib 208 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((1st𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd𝑝) ≠ 0 ))
37 sitgval.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑊)
38 sitgval.j . . . . . 6 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
39 sitgval.s . . . . . 6 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
40 sitgval.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
41 sitgval.x . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑊)
42 sitgval.1 . . . . . 6 (𝜑𝑊𝑉)
43 sitgval.2 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ran measures)
44 sitgadd.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
45 sitgadd.5 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
46 sitgadd.1 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
47 sitgadd.3 . . . . . 6 (𝜑𝐽 ∈ Fre)
4837, 38, 39, 40, 41, 8, 42, 43, 44, 45, 46, 47sibfinima 30529 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (1st𝑝) ∈ ran 𝐹 ∧ (2nd𝑝) ∈ ran 𝐺) ∧ ((1st𝑝) ≠ 0 ∨ (2nd𝑝) ≠ 0 )) → (𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞))
493, 19, 21, 36, 48syl31anc 1369 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞))
50 fnfvima 6536 . . . 4 ((𝐻 Fn ℝ ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ ∧ (𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)}))) ∈ (0[,)+∞)) → (𝐻‘(𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)})))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
5113, 15, 49, 50syl3anc 1366 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻‘(𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)})))) ∈ (𝐻 “ (0[,)+∞)))
52 imassrn 5512 . . . . . 6 (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ ran 𝐻
53 frn 6091 . . . . . . 7 (𝐻:ℝ⟶(Base‘(Scalar‘𝑊)) → ran 𝐻 ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5410, 53syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ran 𝐻 ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5552, 54syl5ss 3647 . . . . 5 (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
56 eqid 2651 . . . . . 6 ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))
5756, 5ressbas2 15978 . . . . 5 ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ⊆ (Base‘(Scalar‘𝑊)) → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
5855, 57syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
593, 58syl 17 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻 “ (0[,)+∞)) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
6051, 59eleqtrd 2732 . 2 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (𝐻‘(𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)})))) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
6137, 38, 39, 40, 41, 8, 42, 43, 45sibff 30526 . . . . . 6 (𝜑𝐺: dom 𝑀 𝐽)
6237, 38tpsuni 20788 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ TopSp → 𝐵 = 𝐽)
63 feq3 6066 . . . . . . 7 (𝐵 = 𝐽 → (𝐺: dom 𝑀𝐵𝐺: dom 𝑀 𝐽))
6446, 62, 633syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺: dom 𝑀𝐵𝐺: dom 𝑀 𝐽))
6561, 64mpbird 247 . . . . 5 (𝜑𝐺: dom 𝑀𝐵)
66 frn 6091 . . . . 5 (𝐺: dom 𝑀𝐵 → ran 𝐺𝐵)
6765, 66syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐺𝐵)
6867adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ran 𝐺𝐵)
6968, 21sseldd 3637 . 2 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → (2nd𝑝) ∈ 𝐵)
70 fvex 6239 . . . . 5 (ℝHom‘(Scalar‘𝑊)) ∈ V
718, 70eqeltri 2726 . . . 4 𝐻 ∈ V
72 imaexg 7145 . . . 4 (𝐻 ∈ V → (𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V)
73 eqid 2651 . . . . 5 (𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞)))
7473, 37resvbas 29960 . . . 4 ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → 𝐵 = (Base‘(𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
7571, 72, 74mp2b 10 . . 3 𝐵 = (Base‘(𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
76 eqid 2651 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7773, 76, 5resvsca 29958 . . . 4 ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (Scalar‘(𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
7871, 72, 77mp2b 10 . . 3 ((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))) = (Scalar‘(𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
7973, 41resvvsca 29962 . . . 4 ((𝐻 “ (0[,)+∞)) ∈ V → · = ( ·𝑠 ‘(𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞)))))
8071, 72, 79mp2b 10 . . 3 · = ( ·𝑠 ‘(𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞))))
81 eqid 2651 . . 3 (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))) = (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞))))
8275, 78, 80, 81slmdvscl 29895 . 2 (((𝑊v (𝐻 “ (0[,)+∞))) ∈ SLMod ∧ (𝐻‘(𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)})))) ∈ (Base‘((Scalar‘𝑊) ↾s (𝐻 “ (0[,)+∞)))) ∧ (2nd𝑝) ∈ 𝐵) → ((𝐻‘(𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)})))) · (2nd𝑝)) ∈ 𝐵)
832, 60, 69, 82syl3anc 1366 1 ((𝜑𝑝 ∈ ((ran 𝐹 × ran 𝐺) ∖ {⟨ 0 , 0 ⟩})) → ((𝐻‘(𝑀‘((𝐹 “ {(1st𝑝)}) ∩ (𝐺 “ {(2nd𝑝)})))) · (2nd𝑝)) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  {csn 4210  cop 4216   cuni 4468   × cxp 5141  ccnv 5142  dom cdm 5143  ran crn 5144  cima 5146   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  1st c1st 7208  2nd c2nd 7209  cr 9973  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  [,)cico 12215  Basecbs 15904  s cress 15905  +gcplusg 15988  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  TopOpenctopn 16129  0gc0g 16147  TopSpctps 20784  Frect1 21159  SLModcslmd 29881  v cresv 29952  ℝHomcrrh 30165   ℝExt crrext 30166  sigaGencsigagen 30329  measurescmeas 30386  sitgcsitg 30519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-ac2 9323  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-ac 8977  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-numer 15490  df-denom 15491  df-gz 15681  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-ordt 16208  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-plusf 17288  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-ghm 17705  df-cntz 17796  df-od 17994  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-subrg 18826  df-abv 18865  df-lmod 18913  df-scaf 18914  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-nzr 19306  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-metu 19793  df-cnfld 19795  df-zring 19867  df-zrh 19900  df-zlm 19901  df-chr 19902  df-refld 19999  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-t1 21166  df-haus 21167  df-reg 21168  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-fcls 21792  df-cnext 21911  df-tmd 21923  df-tgp 21924  df-tsms 21977  df-trg 22010  df-ust 22051  df-utop 22082  df-uss 22107  df-usp 22108  df-ucn 22127  df-cfilu 22138  df-cusp 22149  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-nm 22434  df-ngp 22435  df-nrg 22437  df-nlm 22438  df-ii 22727  df-cncf 22728  df-cfil 23099  df-cmet 23101  df-cms 23178  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-slmd 29882  df-resv 29953  df-qqh 30145  df-rrh 30167  df-rrext 30171  df-esum 30218  df-siga 30299  df-sigagen 30330  df-meas 30387  df-mbfm 30441  df-sitg 30520
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator