Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sitg0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sitg0 30748
Description: The integral of the constant zero function is zero. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
sitgval.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
sitgval.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
sitgval.s 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
sitgval.0 0 = (0g𝑊)
sitgval.x · = ( ·𝑠𝑊)
sitgval.h 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
sitgval.1 (𝜑𝑊𝑉)
sitgval.2 (𝜑𝑀 ran measures)
sitg0.1 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
sitg0.2 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
Assertion
Ref Expression
sitg0 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘( dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )

Proof of Theorem sitg0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sitgval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑊)
2 sitgval.j . . 3 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
3 sitgval.s . . 3 𝑆 = (sigaGen‘𝐽)
4 sitgval.0 . . 3 0 = (0g𝑊)
5 sitgval.x . . 3 · = ( ·𝑠𝑊)
6 sitgval.h . . 3 𝐻 = (ℝHom‘(Scalar‘𝑊))
7 sitgval.1 . . 3 (𝜑𝑊𝑉)
8 sitgval.2 . . 3 (𝜑𝑀 ran measures)
9 sitg0.1 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ TopSp)
10 sitg0.2 . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ Mnd)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10sibf0 30736 . . 3 (𝜑 → ( dom 𝑀 × { 0 }) ∈ dom (𝑊sitg𝑀))
121, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 11sitgfval 30743 . 2 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘( dom 𝑀 × { 0 })) = (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))))
13 rnxpss 5706 . . . . . . 7 ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 }
14 ssdif0 4090 . . . . . . 7 (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ⊆ { 0 } ↔ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅)
1513, 14mpbi 220 . . . . . 6 (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅
16 mpteq1 4872 . . . . . 6 ((ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) = ∅ → (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . 5 (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))
18 mpt0 6160 . . . . 5 (𝑥 ∈ ∅ ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
1917, 18eqtri 2793 . . . 4 (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥)) = ∅
2019oveq2i 6807 . . 3 (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = (𝑊 Σg ∅)
214gsum0 17486 . . 3 (𝑊 Σg ∅) = 0
2220, 21eqtri 2793 . 2 (𝑊 Σg (𝑥 ∈ (ran ( dom 𝑀 × { 0 }) ∖ { 0 }) ↦ ((𝐻‘(𝑀‘(( dom 𝑀 × { 0 }) “ {𝑥}))) · 𝑥))) = 0
2312, 22syl6eq 2821 1 (𝜑 → ((𝑊sitg𝑀)‘( dom 𝑀 × { 0 })) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  cdif 3720  wss 3723  c0 4063  {csn 4317   cuni 4575  cmpt 4864   × cxp 5248  ccnv 5249  dom cdm 5250  ran crn 5251  cima 5253  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  TopOpenctopn 16290  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502  TopSpctps 20957  ℝHomcrrh 30377  sigaGencsigagen 30541  measurescmeas 30598  sitgcsitg 30731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-map 8015  df-en 8114  df-fin 8117  df-seq 13009  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-esum 30430  df-siga 30511  df-sigagen 30542  df-meas 30599  df-mbfm 30653  df-sitg 30732
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator