MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinq12ge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinq12ge0 24305
Description: The sine of a number between 0 and π is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
sinq12ge0 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 0 ≤ (sin‘𝐴))

Proof of Theorem sinq12ge0
StepHypRef Expression
1 0re 10078 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
2 pire 24255 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
31, 2elicc2i 12277 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
43simp1bi 1096 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 rexr 10123 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ*)
6 rexr 10123 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ → π ∈ ℝ*)
7 elioo2 12254 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π)))
85, 6, 7syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π)))
91, 2, 8mp2an 708 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π))
10 sinq12gt0 24304 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘𝐴))
119, 10sylbir 225 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (sin‘𝐴))
12113expib 1287 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (sin‘𝐴)))
134, 12syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 < (sin‘𝐴)))
144resincld 14917 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0[,]π) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
15 ltle 10164 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ (sin‘𝐴) ∈ ℝ) → (0 < (sin‘𝐴) → 0 ≤ (sin‘𝐴)))
161, 14, 15sylancr 696 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0[,]π) → (0 < (sin‘𝐴) → 0 ≤ (sin‘𝐴)))
1713, 16syld 47 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → ((0 < 𝐴𝐴 < π) → 0 ≤ (sin‘𝐴)))
1817expd 451 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]π) → (0 < 𝐴 → (𝐴 < π → 0 ≤ (sin‘𝐴))))
19 0le0 11148 . . . . . . 7 0 ≤ 0
20 sin0 14923 . . . . . . 7 (sin‘0) = 0
2119, 20breqtrri 4712 . . . . . 6 0 ≤ (sin‘0)
22 fveq2 6229 . . . . . 6 (0 = 𝐴 → (sin‘0) = (sin‘𝐴))
2321, 22syl5breq 4722 . . . . 5 (0 = 𝐴 → 0 ≤ (sin‘𝐴))
2423a1d 25 . . . 4 (0 = 𝐴 → (𝐴 < π → 0 ≤ (sin‘𝐴)))
2524a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]π) → (0 = 𝐴 → (𝐴 < π → 0 ≤ (sin‘𝐴))))
263simp2bi 1097 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 0 ≤ 𝐴)
27 leloe 10162 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
281, 4, 27sylancr 696 . . . 4 (𝐴 ∈ (0[,]π) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
2926, 28mpbid 222 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]π) → (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴))
3018, 25, 29mpjaod 395 . 2 (𝐴 ∈ (0[,]π) → (𝐴 < π → 0 ≤ (sin‘𝐴)))
31 sinpi 24254 . . . . 5 (sin‘π) = 0
3219, 31breqtrri 4712 . . . 4 0 ≤ (sin‘π)
33 fveq2 6229 . . . 4 (𝐴 = π → (sin‘𝐴) = (sin‘π))
3432, 33syl5breqr 4723 . . 3 (𝐴 = π → 0 ≤ (sin‘𝐴))
3534a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ (0[,]π) → (𝐴 = π → 0 ≤ (sin‘𝐴)))
363simp3bi 1098 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 𝐴 ≤ π)
37 leloe 10162 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 < π ∨ 𝐴 = π)))
384, 2, 37sylancl 695 . . 3 (𝐴 ∈ (0[,]π) → (𝐴 ≤ π ↔ (𝐴 < π ∨ 𝐴 = π)))
3936, 38mpbid 222 . 2 (𝐴 ∈ (0[,]π) → (𝐴 < π ∨ 𝐴 = π))
4030, 35, 39mpjaod 395 1 (𝐴 ∈ (0[,]π) → 0 ≤ (sin‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cr 9973  0cc0 9974  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  sincsin 14838  πcpi 14841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  cosq14ge0  24308  argimgt0  24403  sin2h  33529
  Copyright terms: Public domain W3C validator