MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinneg 15067
Description: The sine of a negative is the negative of the sine. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
sinneg (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))

Proof of Theorem sinneg
StepHypRef Expression
1 negcl 10465 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2 sinval 15043 . . 3 (-𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)))
4 sinval 15043 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
54negeqd 10459 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
6 ax-icn 10179 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
7 mulcl 10204 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
86, 7mpan 708 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9 efcl 15004 . . . . . . 7 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
108, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11 negicn 10466 . . . . . . . 8 -i ∈ ℂ
12 mulcl 10204 . . . . . . . 8 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
1311, 12mpan 708 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
14 efcl 15004 . . . . . . 7 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
1610, 15subcld 10576 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ)
17 2mulicn 11439 . . . . . 6 (2 · i) ∈ ℂ
18 2muline0 11440 . . . . . 6 (2 · i) ≠ 0
19 divneg 10903 . . . . . 6 ((((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ∈ ℂ ∧ (2 · i) ≠ 0) → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
2017, 18, 19mp3an23 1557 . . . . 5 (((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) ∈ ℂ → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
2116, 20syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
225, 21eqtrd 2786 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
23 mulneg12 10652 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
246, 23mpan 708 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
2524eqcomd 2758 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = (-i · 𝐴))
2625fveq2d 6348 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
27 mul2neg 10653 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
286, 27mpan 708 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
2928fveq2d 6348 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · -𝐴)) = (exp‘(i · 𝐴)))
3026, 29oveq12d 6823 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) − (exp‘(i · 𝐴))))
3110, 15negsubdi2d 10592 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) − (exp‘(i · 𝐴))))
3230, 31eqtr4d 2789 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) = -((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))))
3332oveq1d 6820 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)) = (-((exp‘(i · 𝐴)) − (exp‘(-i · 𝐴))) / (2 · i)))
3422, 33eqtr4d 2789 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) − (exp‘(-i · -𝐴))) / (2 · i)))
353, 34eqtr4d 2789 1 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  cfv 6041  (class class class)co 6805  cc 10118  0cc0 10120  ici 10122   · cmul 10125  cmin 10450  -cneg 10451   / cdiv 10868  2c2 11254  expce 14983  sincsin 14985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198  ax-addf 10199  ax-mulf 10200
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-rp 12018  df-ico 12366  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-seq 12988  df-exp 13047  df-fac 13247  df-hash 13304  df-shft 13998  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-limsup 14393  df-clim 14410  df-rlim 14411  df-sum 14608  df-ef 14989  df-sin 14991
This theorem is referenced by:  tanneg  15069  sin0  15070  efmival  15074  sinsub  15089  cossub  15090  sincossq  15097  sin2pim  24428  reasinsin  24814  atantan  24841  sinccvglem  31865  dirkertrigeqlem2  40811  fourierdlem43  40862  fourierdlem44  40863  sqwvfoura  40940
  Copyright terms: Public domain W3C validator