MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sinhval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinhval 15090
Description: Value of the hyperbolic sine of a complex number. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
sinhval (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))

Proof of Theorem sinhval
StepHypRef Expression
1 ixi 10862 . . . . . . . . 9 (i · i) = -1
21oveq1i 6806 . . . . . . . 8 ((i · i) · 𝐴) = (-1 · 𝐴)
3 ax-icn 10201 . . . . . . . . 9 i ∈ ℂ
4 mulass 10230 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
53, 3, 4mp3an12 1562 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · 𝐴) = (i · (i · 𝐴)))
6 mulm1 10677 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · 𝐴) = -𝐴)
72, 5, 63eqtr3a 2829 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · 𝐴)) = -𝐴)
87fveq2d 6337 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (i · 𝐴))) = (exp‘-𝐴))
93, 3mulneg1i 10682 . . . . . . . . . 10 (-i · i) = -(i · i)
101negeqi 10480 . . . . . . . . . . 11 -(i · i) = --1
11 negneg1e1 11334 . . . . . . . . . . 11 --1 = 1
1210, 11eqtri 2793 . . . . . . . . . 10 -(i · i) = 1
139, 12eqtri 2793 . . . . . . . . 9 (-i · i) = 1
1413oveq1i 6806 . . . . . . . 8 ((-i · i) · 𝐴) = (1 · 𝐴)
15 negicn 10488 . . . . . . . . 9 -i ∈ ℂ
16 mulass 10230 . . . . . . . . 9 ((-i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
1715, 3, 16mp3an12 1562 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((-i · i) · 𝐴) = (-i · (i · 𝐴)))
18 mulid2 10244 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
1914, 17, 183eqtr3a 2829 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (i · 𝐴)) = 𝐴)
2019fveq2d 6337 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (i · 𝐴))) = (exp‘𝐴))
218, 20oveq12d 6814 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
2221oveq1d 6811 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
23 mulcl 10226 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
243, 23mpan 670 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
25 sinval 15058 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
2624, 25syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (((exp‘(i · (i · 𝐴))) − (exp‘(-i · (i · 𝐴)))) / (2 · i)))
27 irec 13171 . . . . . . . 8 (1 / i) = -i
2827negeqi 10480 . . . . . . 7 -(1 / i) = --i
293negnegi 10557 . . . . . . 7 --i = i
3028, 29eqtri 2793 . . . . . 6 -(1 / i) = i
3130oveq1i 6806 . . . . 5 (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
32 ine0 10671 . . . . . . . 8 i ≠ 0
333, 32reccli 10961 . . . . . . 7 (1 / i) ∈ ℂ
34 efcl 15019 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘𝐴) ∈ ℂ)
35 negcl 10487 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
36 efcl 15019 . . . . . . . . . 10 (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘-𝐴) ∈ ℂ)
3834, 37subcld 10598 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) ∈ ℂ)
3938halfcld 11484 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
40 mulneg12 10674 . . . . . . 7 (((1 / i) ∈ ℂ ∧ (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) ∈ ℂ) → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
4133, 39, 40sylancr 575 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
42 2cnd 11299 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
43 2ne0 11319 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
4443a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
4538, 42, 44divnegd 11020 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
4634, 37negsubdi2d 10614 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → -((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) = ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)))
4746oveq1d 6811 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (-((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
4845, 47eqtrd 2805 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2))
4948oveq2d 6812 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
5037, 34subcld 10598 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) ∈ ℂ)
5150halfcld 11484 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) ∈ ℂ)
523a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → i ∈ ℂ)
5332a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → i ≠ 0)
5451, 52, 53divrec2d 11011 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = ((1 / i) · (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2)))
5550, 42, 52, 44, 53divdiv1d 11038 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / 2) / i) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5649, 54, 553eqtr2d 2811 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((1 / i) · -(((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5741, 56eqtrd 2805 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (-(1 / i) · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5831, 57syl5eqr 2819 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) = (((exp‘-𝐴) − (exp‘𝐴)) / (2 · i)))
5922, 26, 583eqtr4d 2815 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘(i · 𝐴)) = (i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)))
6059oveq1d 6811 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i))
6139, 52, 53divcan3d 11012 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
6260, 61eqtrd 2805 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘(i · 𝐴)) / i) = (((exp‘𝐴) − (exp‘-𝐴)) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cfv 6030  (class class class)co 6796  cc 10140  0cc0 10142  1c1 10143  ici 10144   · cmul 10147  cmin 10472  -cneg 10473   / cdiv 10890  2c2 11276  expce 14998  sincsin 15000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220  ax-addf 10221  ax-mulf 10222
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006
This theorem is referenced by:  resinhcl  15092  tanhlt1  15096  sinhpcosh  43009
  Copyright terms: Public domain W3C validator