MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincossq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincossq 14950
Description: Sine squared plus cosine squared is 1. Equation 17 of [Gleason] p. 311. Note that this holds for non-real arguments, even though individually each term is unbounded. (Contributed by NM, 15-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
sincossq (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)

Proof of Theorem sincossq
StepHypRef Expression
1 negcl 10319 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
2 cosadd 14939 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -𝐴 ∈ ℂ) → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
31, 2mpdan 703 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
4 negid 10366 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 + -𝐴) = 0)
54fveq2d 6233 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = (cos‘0))
6 cos0 14924 . . 3 (cos‘0) = 1
75, 6syl6eq 2701 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(𝐴 + -𝐴)) = 1)
8 sincl 14900 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
98sqcld 13046 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
10 coscl 14901 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
1110sqcld 13046 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
129, 11addcomd 10276 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)))
1310sqvald 13045 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
14 cosneg 14921 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
1514oveq2d 6706 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) = ((cos‘𝐴) · (cos‘𝐴)))
1613, 15eqtr4d 2688 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴)↑2) = ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)))
178sqvald 13045 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
18 sinneg 14920 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) = -(sin‘𝐴))
1918negeqd 10313 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘-𝐴) = --(sin‘𝐴))
208negnegd 10421 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → --(sin‘𝐴) = (sin‘𝐴))
2119, 20eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -(sin‘-𝐴) = (sin‘𝐴))
2221oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (sin‘𝐴)))
2317, 22eqtr4d 2688 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)))
241sincld 14904 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘-𝐴) ∈ ℂ)
258, 24mulneg2d 10522 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · -(sin‘-𝐴)) = -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)))
2623, 25eqtrd 2685 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴)↑2) = -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)))
2716, 26oveq12d 6708 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) + ((sin‘𝐴)↑2)) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
281coscld 14905 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) ∈ ℂ)
2910, 28mulcld 10098 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) ∈ ℂ)
308, 24mulcld 10098 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴)) ∈ ℂ)
3129, 30negsubd 10436 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) + -((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))) = (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))))
3212, 27, 313eqtrrd 2690 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴) · (cos‘-𝐴)) − ((sin‘𝐴) · (sin‘-𝐴))) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
333, 7, 323eqtr3rd 2694 1 (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304  -cneg 10305  2c2 11108  cexp 12900  sincsin 14838  cosccos 14839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845
This theorem is referenced by:  cos2t  14952  cos2tsin  14953  sinbnd  14954  cosbnd  14955  absefi  14970  sinhalfpilem  24260  sincos6thpi  24312  efif1olem4  24336  heron  24610  asinsin  24664  atandmtan  24692  basellem8  24859  sin2h  33529  tan2h  33531  dvtan  33590  itgsinexp  40488  onetansqsecsq  42830  cotsqcscsq  42831
  Copyright terms: Public domain W3C validator