MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sincos2sgn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sincos2sgn 15094
Description: The signs of the sine and cosine of 2. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)
Assertion
Ref Expression
sincos2sgn (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)

Proof of Theorem sincos2sgn
StepHypRef Expression
1 2re 11253 . . . 4 2 ∈ ℝ
2 2pos 11275 . . . 4 0 < 2
31leidi 10725 . . . 4 2 ≤ 2
4 0xr 10249 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
5 elioc2 12400 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ 2 ∈ ℝ) → (2 ∈ (0(,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ∧ 2 ≤ 2)))
64, 1, 5mp2an 710 . . . 4 (2 ∈ (0(,]2) ↔ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2 ∧ 2 ≤ 2))
71, 2, 3, 6mpbir3an 1405 . . 3 2 ∈ (0(,]2)
8 sin02gt0 15092 . . 3 (2 ∈ (0(,]2) → 0 < (sin‘2))
97, 8ax-mp 5 . 2 0 < (sin‘2)
10 cos2bnd 15088 . . . 4 (-(7 / 9) < (cos‘2) ∧ (cos‘2) < -(1 / 9))
1110simpri 481 . . 3 (cos‘2) < -(1 / 9)
12 9re 11270 . . . . 5 9 ∈ ℝ
13 9pos 11285 . . . . 5 0 < 9
1412, 13recgt0ii 11092 . . . 4 0 < (1 / 9)
1512, 13gt0ne0ii 10727 . . . . . 6 9 ≠ 0
1612, 15rereccli 10953 . . . . 5 (1 / 9) ∈ ℝ
17 lt0neg2 10698 . . . . 5 ((1 / 9) ∈ ℝ → (0 < (1 / 9) ↔ -(1 / 9) < 0))
1816, 17ax-mp 5 . . . 4 (0 < (1 / 9) ↔ -(1 / 9) < 0)
1914, 18mpbi 220 . . 3 -(1 / 9) < 0
20 recoscl 15041 . . . . 5 (2 ∈ ℝ → (cos‘2) ∈ ℝ)
211, 20ax-mp 5 . . . 4 (cos‘2) ∈ ℝ
2216renegcli 10505 . . . 4 -(1 / 9) ∈ ℝ
23 0re 10203 . . . 4 0 ∈ ℝ
2421, 22, 23lttri 10326 . . 3 (((cos‘2) < -(1 / 9) ∧ -(1 / 9) < 0) → (cos‘2) < 0)
2511, 19, 24mp2an 710 . 2 (cos‘2) < 0
269, 25pm3.2i 470 1 (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2127   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  cr 10098  0cc0 10099  1c1 10100  *cxr 10236   < clt 10237  cle 10238  -cneg 10430   / cdiv 10847  2c2 11233  7c7 11238  9c9 11240  (,]cioc 12340  sincsin 14964  cosccos 14965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177  ax-addf 10178  ax-mulf 10179
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-ioc 12344  df-ico 12345  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-seq 12967  df-exp 13026  df-fac 13226  df-bc 13255  df-hash 13283  df-shft 13977  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-limsup 14372  df-clim 14389  df-rlim 14390  df-sum 14587  df-ef 14968  df-sin 14970  df-cos 14971
This theorem is referenced by:  sin4lt0  15095  pilem3  24377
  Copyright terms: Public domain W3C validator