Mathbox for Paul Chapman < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sinccvglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sinccvglem 31692
 Description: ((sin‘𝑥) / 𝑥) ⇝ 1 as (real) 𝑥 ⇝ 0. (Contributed by Paul Chapman, 10-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
sinccvg.1 (𝜑𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}))
sinccvg.2 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
sinccvg.3 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥))
sinccvg.4 𝐻 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3)))
sinccvg.5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
sinccvg.6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) < 1)
Assertion
Ref Expression
sinccvglem (𝜑 → (𝐺𝐹) ⇝ 1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝐹   𝑘,𝐻   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝐺
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐻(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem sinccvglem
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . 2 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 sinccvg.5 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
32nnzd 11519 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 sinccvg.2 . . . 4 (𝜑𝐹 ⇝ 0)
5 sinccvg.4 . . . . . 6 𝐻 = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3)))
65funmpt2 5965 . . . . 5 Fun 𝐻
7 sinccvg.1 . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}))
8 nnex 11064 . . . . . 6 ℕ ∈ V
9 fex 6530 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ ℕ ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
107, 8, 9sylancl 695 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ V)
11 cofunexg 7172 . . . . 5 ((Fun 𝐻𝐹 ∈ V) → (𝐻𝐹) ∈ V)
126, 10, 11sylancr 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐻𝐹) ∈ V)
137adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}))
14 eluznn 11796 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
152, 14sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ)
1613, 15ffvelrnd 6400 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ (ℝ ∖ {0}))
17 eldifsn 4350 . . . . . . 7 ((𝐹𝑘) ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 0))
1816, 17sylib 208 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑘) ≠ 0))
1918simpld 474 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
2019recnd 10106 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
21 ax-1cn 10032 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
22 sqcl 12965 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
23 3cn 11133 . . . . . . . 8 3 ∈ ℂ
24 3ne0 11153 . . . . . . . 8 3 ≠ 0
25 divcl 10729 . . . . . . . 8 (((𝑥↑2) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → ((𝑥↑2) / 3) ∈ ℂ)
2623, 24, 25mp3an23 1456 . . . . . . 7 ((𝑥↑2) ∈ ℂ → ((𝑥↑2) / 3) ∈ ℂ)
2722, 26syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) / 3) ∈ ℂ)
28 subcl 10318 . . . . . 6 ((1 ∈ ℂ ∧ ((𝑥↑2) / 3) ∈ ℂ) → (1 − ((𝑥↑2) / 3)) ∈ ℂ)
2921, 27, 28sylancr 696 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (1 − ((𝑥↑2) / 3)) ∈ ℂ)
305, 29fmpti 6423 . . . 4 𝐻:ℂ⟶ℂ
31 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
3231cnfldtopon 22633 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
3332a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
34 1cnd 10094 . . . . . . . . 9 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
3533, 33, 34cnmptc 21513 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ 1) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3631sqcn 22724 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3831divccn 22723 . . . . . . . . . . 11 ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 3)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3923, 24, 38mp2an 708 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 3)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4039a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 / 3)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
41 oveq1 6697 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥↑2) → (𝑦 / 3) = ((𝑥↑2) / 3))
4233, 37, 33, 40, 41cnmpt11 21514 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((𝑥↑2) / 3)) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4331subcn 22716 . . . . . . . . 9 − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4443a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → − ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4533, 35, 42, 44cnmpt12f 21517 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
4645trud 1533 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (1 − ((𝑥↑2) / 3))) ∈ ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4731cncfcn1 22760 . . . . . 6 (ℂ–cn→ℂ) = ((TopOpen‘ℂfld) Cn (TopOpen‘ℂfld))
4846, 5, 473eltr4i 2743 . . . . 5 𝐻 ∈ (ℂ–cn→ℂ)
49 cncfi 22744 . . . . 5 ((𝐻 ∈ (ℂ–cn→ℂ) ∧ 0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑧 → (abs‘((𝐻𝑤) − (𝐻‘0))) < 𝑦))
5048, 49mp3an1 1451 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤 ∈ ℂ ((abs‘(𝑤 − 0)) < 𝑧 → (abs‘((𝐻𝑤) − (𝐻‘0))) < 𝑦))
51 fvco3 6314 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
527, 51sylan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
5315, 52syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (𝐻‘(𝐹𝑘)))
541, 4, 12, 3, 20, 30, 50, 53climcn1lem 14377 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝐹) ⇝ (𝐻‘0))
55 0cn 10070 . . . 4 0 ∈ ℂ
56 sq0i 12996 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥↑2) = 0)
5756oveq1d 6705 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥↑2) / 3) = (0 / 3))
5823, 24div0i 10797 . . . . . . . 8 (0 / 3) = 0
5957, 58syl6eq 2701 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑥↑2) / 3) = 0)
6059oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (1 − ((𝑥↑2) / 3)) = (1 − 0))
61 1m0e1 11169 . . . . . 6 (1 − 0) = 1
6260, 61syl6eq 2701 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (1 − ((𝑥↑2) / 3)) = 1)
63 1ex 10073 . . . . 5 1 ∈ V
6462, 5, 63fvmpt 6321 . . . 4 (0 ∈ ℂ → (𝐻‘0) = 1)
6555, 64ax-mp 5 . . 3 (𝐻‘0) = 1
6654, 65syl6breq 4726 . 2 (𝜑 → (𝐻𝐹) ⇝ 1)
67 sinccvg.3 . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↦ ((sin‘𝑥) / 𝑥))
6867funmpt2 5965 . . 3 Fun 𝐺
69 cofunexg 7172 . . 3 ((Fun 𝐺𝐹 ∈ V) → (𝐺𝐹) ∈ V)
7068, 10, 69sylancr 696 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ V)
71 oveq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝑥↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
7271oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑘) → ((𝑥↑2) / 3) = (((𝐹𝑘)↑2) / 3))
7372oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (1 − ((𝑥↑2) / 3)) = (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)))
74 ovex 6718 . . . . . 6 (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) ∈ V
7573, 5, 74fvmpt 6321 . . . . 5 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (𝐻‘(𝐹𝑘)) = (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)))
7620, 75syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐻‘(𝐹𝑘)) = (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)))
7753, 76eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) = (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)))
78 1re 10077 . . . 4 1 ∈ ℝ
7919resqcld 13075 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ)
80 3nn 11224 . . . . 5 3 ∈ ℕ
81 nndivre 11094 . . . . 5 ((((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑘)↑2) / 3) ∈ ℝ)
8279, 80, 81sylancl 695 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝐹𝑘)↑2) / 3) ∈ ℝ)
83 resubcl 10383 . . . 4 ((1 ∈ ℝ ∧ (((𝐹𝑘)↑2) / 3) ∈ ℝ) → (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
8478, 82, 83sylancr 696 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) ∈ ℝ)
8577, 84eqeltrd 2730 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
86 fvco3 6314 . . . . . 6 ((𝐹:ℕ⟶(ℝ ∖ {0}) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
877, 86sylan 487 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
8815, 87syldan 486 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
89 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (sin‘𝑥) = (sin‘(𝐹𝑘)))
90 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑘) → 𝑥 = (𝐹𝑘))
9189, 90oveq12d 6708 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑘) → ((sin‘𝑥) / 𝑥) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
92 ovex 6718 . . . . . 6 ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) ∈ V
9391, 67, 92fvmpt 6321 . . . . 5 ((𝐹𝑘) ∈ (ℝ ∖ {0}) → (𝐺‘(𝐹𝑘)) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
9416, 93syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐺‘(𝐹𝑘)) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
9588, 94eqtrd 2685 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
9619resincld 14917 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
9718simprd 478 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑘) ≠ 0)
9896, 19, 97redivcld 10891 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
9995, 98eqeltrd 2730 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ ℝ)
100 1cnd 10094 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℂ)
10182recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝐹𝑘)↑2) / 3) ∈ ℂ)
10220abscld 14219 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
103102recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
104100, 101, 103subdird 10525 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((1 · (abs‘(𝐹𝑘))) − ((((𝐹𝑘)↑2) / 3) · (abs‘(𝐹𝑘)))))
105103mulid2d 10096 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 · (abs‘(𝐹𝑘))) = (abs‘(𝐹𝑘)))
106 df-3 11118 . . . . . . . . . . . . 13 3 = (2 + 1)
107106oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 ((abs‘(𝐹𝑘))↑3) = ((abs‘(𝐹𝑘))↑(2 + 1))
108 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
109 expp1 12907 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((abs‘(𝐹𝑘))↑(2 + 1)) = (((abs‘(𝐹𝑘))↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
110103, 108, 109sylancl 695 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘))↑(2 + 1)) = (((abs‘(𝐹𝑘))↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
111 absresq 14086 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹𝑘) ∈ ℝ → ((abs‘(𝐹𝑘))↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
11219, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘))↑2) = ((𝐹𝑘)↑2))
113112oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((abs‘(𝐹𝑘))↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = (((𝐹𝑘)↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
114110, 113eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘))↑(2 + 1)) = (((𝐹𝑘)↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
115107, 114syl5eq 2697 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘))↑3) = (((𝐹𝑘)↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
116115oveq1d 6705 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3) = ((((𝐹𝑘)↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))) / 3))
11779recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐹𝑘)↑2) ∈ ℂ)
11823a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 3 ∈ ℂ)
11924a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 3 ≠ 0)
120117, 103, 118, 119div23d 10876 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((((𝐹𝑘)↑2) · (abs‘(𝐹𝑘))) / 3) = ((((𝐹𝑘)↑2) / 3) · (abs‘(𝐹𝑘))))
121116, 120eqtr2d 2686 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((((𝐹𝑘)↑2) / 3) · (abs‘(𝐹𝑘))) = (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3))
122105, 121oveq12d 6708 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((1 · (abs‘(𝐹𝑘))) − ((((𝐹𝑘)↑2) / 3) · (abs‘(𝐹𝑘)))) = ((abs‘(𝐹𝑘)) − (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3)))
123104, 122eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹𝑘)) − (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3)))
12420, 97absrpcld 14231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ+)
125124rpgt0d 11913 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < (abs‘(𝐹𝑘)))
126 sinccvg.6 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) < 1)
127 ltle 10164 . . . . . . . . . . . 12 (((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) < 1 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 1))
128102, 78, 127sylancl 695 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) < 1 → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 1))
129126, 128mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 1)
130 0xr 10124 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
131 elioc2 12274 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ (0(,]1) ↔ ((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘(𝐹𝑘)) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 1)))
132130, 78, 131mp2an 708 . . . . . . . . . 10 ((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ (0(,]1) ↔ ((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ ∧ 0 < (abs‘(𝐹𝑘)) ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ≤ 1))
133102, 125, 129, 132syl3anbrc 1265 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ (0(,]1))
134 sin01bnd 14959 . . . . . . . . 9 ((abs‘(𝐹𝑘)) ∈ (0(,]1) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3)) < (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) < (abs‘(𝐹𝑘))))
135133, 134syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((abs‘(𝐹𝑘)) − (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3)) < (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) ∧ (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) < (abs‘(𝐹𝑘))))
136135simpld 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) − (((abs‘(𝐹𝑘))↑3) / 3)) < (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))))
137123, 136eqbrtrd 4707 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) · (abs‘(𝐹𝑘))) < (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))))
138102resincld 14917 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) ∈ ℝ)
13984, 138, 124ltmuldivd 11957 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) · (abs‘(𝐹𝑘))) < (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) ↔ (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) < ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘)))))
140137, 139mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) < ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))))
141 fveq2 6229 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘) → (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) = (sin‘(𝐹𝑘)))
142 id 22 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘))
143141, 142oveq12d 6708 . . . . . . 7 ((abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
144143a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘))))
145 sinneg 14920 . . . . . . . . . 10 ((𝐹𝑘) ∈ ℂ → (sin‘-(𝐹𝑘)) = -(sin‘(𝐹𝑘)))
14620, 145syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘-(𝐹𝑘)) = -(sin‘(𝐹𝑘)))
147146oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘-(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)) = (-(sin‘(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)))
14896recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
149148, 20, 97div2negd 10854 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (-(sin‘(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
150147, 149eqtrd 2685 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘-(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
151 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 ((abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘) → (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) = (sin‘-(𝐹𝑘)))
152 id 22 . . . . . . . . 9 ((abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘) → (abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘))
153151, 152oveq12d 6708 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘-(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)))
154153eqeq1d 2653 . . . . . . 7 ((abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘) → (((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) ↔ ((sin‘-(𝐹𝑘)) / -(𝐹𝑘)) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘))))
155150, 154syl5ibrcom 237 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘))))
15619absord 14198 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) = (𝐹𝑘) ∨ (abs‘(𝐹𝑘)) = -(𝐹𝑘)))
157144, 155, 156mpjaod 395 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) = ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
158140, 157breqtrd 4711 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) < ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
15984, 98, 158ltled 10223 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 − (((𝐹𝑘)↑2) / 3)) ≤ ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)))
160159, 77, 953brtr4d 4717 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐻𝐹)‘𝑘) ≤ ((𝐺𝐹)‘𝑘))
16178a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
162135simprd 478 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) < (abs‘(𝐹𝑘)))
163103mulid1d 10095 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((abs‘(𝐹𝑘)) · 1) = (abs‘(𝐹𝑘)))
164162, 163breqtrrd 4713 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐹𝑘)) · 1))
165138, 161, 124ltdivmuld 11961 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) < 1 ↔ (sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) < ((abs‘(𝐹𝑘)) · 1)))
166164, 165mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘(abs‘(𝐹𝑘))) / (abs‘(𝐹𝑘))) < 1)
167157, 166eqbrtrrd 4709 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) < 1)
16898, 161, 167ltled 10223 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((sin‘(𝐹𝑘)) / (𝐹𝑘)) ≤ 1)
16995, 168eqbrtrd 4707 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ≤ 1)
1701, 3, 66, 70, 85, 99, 160, 169climsqz 14415 1 (𝜑 → (𝐺𝐹) ⇝ 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604  {csn 4210   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   ∘ ccom 5147  Fun wfun 5920  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  -cneg 10305   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  3c3 11109  ℕ0cn0 11330  ℤ≥cuz 11725  ℝ+crp 11870  (,]cioc 12214  ↑cexp 12900  abscabs 14018   ⇝ cli 14259  sincsin 14838  TopOpenctopn 16129  ℂfldccnfld 19794  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076   ×t ctx 21411  –cn→ccncf 22726 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728 This theorem is referenced by:  sinccvg  31693
 Copyright terms: Public domain W3C validator